内江市高中2015届第四次模拟考试试题
数学（文史类）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2、复数 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3、一几何体的三视图如 图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为 ，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4、如图 ，某地一天中 时至 时的温度变化曲线近似满足函数 （其中 ， ），则估计中午 时的温度近似为（ ）
A． B． C． D．
5、执行如图 所示的程序框图，如果输出 ，那么判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
6、若 ， ， ， ， ， 为正实数，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7、已知 是抛物线 上的一个动点，则点 到直线 和 的距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8、某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
9、圆锥的轴截面 是边长为 的等边三角形， 为底面的中心， 为 的中点，动点 在圆锥底面内（包括圆周），若 ，则点 形成的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
10、已知函数 的周期为4，且当 时， ，其中 ．若方程 恰有5个实数解，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11、已知函数 （ ），若函数 的图象在点 处切线的倾斜角为 ，则 ．
12、直角坐标系 中， ， 分别是与 ， 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形 中，若 ， ，且 ，则 的值是 ．
13、若 ，则 ．
14、已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如右图所示．则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是 ．
15、下图展示了一个由区间 到实数集 的映射过程：区间 中的实数 对应数轴上的点 ，如图 ；将线段 围成一个圆，使两端点 、 恰好重合，如图 ；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在 轴上，点 的坐标为 ，如图 ．图 中直线 与 轴交于点 ，则 的象就是 ，记作 ．
方程 的解是 ；
下列说法中正确命题的序号是 ．（填出所有正确命题的序号）
① ；② 是奇函数；
③ 在定义域上单调递增；④ 的图象关于点 对称．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16、（本小题满分12分）已知向量 ， ．
当 时，求 的值；
设函数 ，已知在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ．若 ， ， ，求 （ ）的取值范围．
17、（本小题满分12分）某校高三年级学生 名参加期末考试，从中随机抽出某班学生（该班共 名同学），并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表：
写出 、 的值；
该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在 中选两位同学，来帮助成绩在 中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分，乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率．
18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 底面 ，且 ，设 、 分别为 、 的中点．
求证： 平面 ；
求证：平面 平面 ．
19、（本小题满分12分）已知数列 为等比数列，其前 项和为 ，已知 ，且 ， ， 成等差数列．
求数列 的通项公式；
已知 （ ），记 ，求 ．
20、（本小题满分13分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 （ ）的离心率 ，直线 （ ）过椭圆 的右焦点 ，且交椭圆 于 ， 两点．
求椭圆 的标准方程；
已知点 ，连结 ，过点 作垂直于 轴的直线 ，设直线 与直线 交于点 ，试证明：点 的横坐标为 ．
21、（本小题满分14分）已知定义在实数集上的函数 ， ．
记函数 ， ，若 的最小值为 ，求实数 的值；
对于 中的 ，设函数 ， ， （ ）是函数 图象上两点，若 ，试证明 ．
内江市高中2015届第四次模拟考试试题
数学（文史类）参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1、D 2、C 3、B 4、B 5、B 6、A 7、C 8、C 9、D 10、B
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