2015年沈阳市大东区高三质量监测
数学试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22-24题为选考题，其它为必考题。共150分，考试时间为120分钟。考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知:全集为U=R,集合 ,则 = A. B. C. D.
2.在复平面内,复数 (i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知 为异面直线, 平面 , 平面 .直线 满足 ,则
A． ,且 B． ,且
C． 与 相交,且交线垂直于 D． 与 相交,且交线平行于
4.设数列 ， =1，前 项和为 ，若 ，则数列 的第5项是
A . 81 B . C. 54 D. 162
5.分别在区间[0,1]和[0,2]内任取一个实数，依次记为m和n，则m2<n的概率为 A. B. C. D.
6.函数 的大致图像是
7.阅读如图所示的程序框图,若输入的 ,则该算法的功能是
A．计算数列 的前10项和 B．计算数列 的前9项和
C．计算数列 的前10项和 D．计算数列 的前9项和
8.设 中，角 所对的边分别为 ，则“ ”的一个充分非必要条件是
A. B.
C. D.
9.如图， 、 分别为棱长为1的正方体的棱 、 的中点，点 、 分别为面对角线 和棱 上的动点（包括端点）,则四面体EFGH的体积
A．既存在最大值，也存在最小值 B.为定值；
C. 只存在最小值； D只存在最大值。
10.直线 过抛物线 ＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是
A． ＝12x B． ＝8x C． =6x D． =4x
11.给出下列四个命题：
①“ ”的否定是“ ”；
②对于任意实数x,有 且 时,
③函数 是偶函数；④已知 ，则 满足关于x的方程 的充要条件是 ,
其中真命题的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
12.设函数 ( , 为自然对数的底数).若曲线 上存在 使得 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21为必考题，每个试题考生都必须做答，第22-24题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中横线上.
13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______
14.六个字母排成一排,且 均在 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)
15.已知正方形ABCD的边长为 ，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则 的最大值为 _______________.
16.已知双曲线 ，右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B、C，使ΔABC为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是
________________
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求 的单调递增区间；
(Ⅱ)求函数 在区间 上的最大值.
18. (本小题满分12分)
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°，E为BC中点
(Ⅰ)证明：A1C∥平面AB1E
(Ⅱ)证明:AB⊥A1C;
(Ⅲ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.
19.（本题满分12分）
某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。
两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）
(Ⅰ)估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；
(Ⅱ)从乙组准确回忆个数在[12,24)范围内的学生中随机选取3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X，求X分布列及数学期望；
(Ⅲ)从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。
20.（本小题满分12分）
如图，已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为顶点的三角形的周长为 .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 和 .
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线 、 的斜率分别为 、 ，证明 ；
（Ⅲ）是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数 其中
（Ⅰ）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）当 时，若 对 恒成立，求 的最小值.
（请考生从22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分）
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D。
（Ⅰ）求证：CE2 = CD • CB；
（Ⅱ）若AB = BC = 2，求CE和CD的长。
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知：动点 都在曲线 （ 为参数）上，对应参数分别为 与 （ ）， 为 的中点。
（Ⅰ）求 的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将 到坐标原点的距离 表示为 的函数，并判断 的轨迹是否过坐标原点。
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数 。
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）若存在x使不等式 成立，求实数a的取值范围。
2015年大东区高三质量监测数学参考答案和评分参考
（理科）
一、 选择题：每小题5分，共60分
1.A 2. D 3.D 4.C 5.A 6.B 7.A 8.B 9. A 10. B 11. B 12.A
二、填空题：每小题5分，共20分
13. 14.480 15. 16.
三、解答题
17.(本题满分12分)
（Ⅰ）
，……… 4分
由
得：增区间为 …………………7分
（Ⅱ）
所以，当 时，………………………… 11分
的最大值为1. ………………………………………… 12分
18. (本题满分12分)
（Ⅰ）连结A1B，使A1B∩AB1=O，连结EO,
因为ABB1A1为平行四边形，所以O为A1B中点
又因为E为BC中点, 所以EO∥A1C
又因为EO 平面AB1E
A1C 平面AB1E
所以，A1C∥平面AB1E……………………………………………………… 4分
(Ⅱ)取AB中点F,连结CF, A1F ,
∵AB= , = ,∴ 是正三角形,
∴A1F⊥AB, ∵CA=CB, ∴CF⊥AB,
∵ ,∴AB⊥面CFA1,
∴AB⊥ ; ……………………………………………………… 8分
（Ⅲ）由(Ⅱ)知FC⊥AB, FA1⊥AB,
又∵面ABC⊥面 ,面ABC∩面 =AB,∴FC⊥面 ,∴FC⊥FA1,
∴FA,FC, FA1两两相互垂直,以F为坐标原点, 的方向为 轴正方向,| |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系 ,
由题设知A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(-1,0,0),则
=(1,0, ), = =(-1, ,0) , =(0,- , ),
设 = 是平面 的法向量,
则 ,即 ,可取 =( ,1,-1),
∴ = ,………………………………… 10分
∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为 ………………………………… 12分
19. (本题满分12分)
解：（Ⅰ）∵ ，
由甲图知，甲组有 （人），∴乙组有20人．
又∵ ，
∴识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的在甲组中有1人
乙组有 （人）
∴
即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的人数为180人．………………………………………………………………………………… 4分
（Ⅱ）由乙图知，乙组在 之间有 （人）
在 之间有 （人）
∴ 的可能取值为0,1,2,3……………………………………………………………6分
，
，
，
∴ 的分布列为
0 1 2 3
………8分
数学期望 ．………………………10分
（Ⅲ）参考答案：
甲组学生准确回忆音节数共有：
个
故甲组学生的平均保持率为
乙组学生准确回忆音节数共有：
个
故乙组学生平均保持率为 ，
所以临睡前背单词记忆效果更好. ………………………………………………12分
（只要叙述合理都给分）
20. (本题满分12分)
（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为 ，得 ，又 ，所以可解得 ， ，所以 ，
所以椭圆的标准方程为 ；………………………………………………2分
所以椭圆的焦点坐标为（ ，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为
。………………………………………………4分
（Ⅱ）设点P(x0,y0)，则 , ，所以 ，又点P(x0,y0)在双曲线上，所以有 ，即 ，所以 ………6分
（Ⅲ）假设存在常数 ，使得 恒成立，则由（Ⅱ）知 ，所以设直线AB的方程为y=k(x+2)，则直线CD的方程为 ，由方程组 ，消y得： ，设A(x1,y1), B(x2,y2),
则由韦达定理得:
所以 ，
同理可得 ，
又因为 ，
所以有 ，
存在常数 ，使得 恒成立………………12分
21.(本题满分12分)
（Ⅰ） 即
设 则 3分
当 时 ,函数 单调递减;
当 时 ,函数 单调递增;
最小值 实数 的取值范围是 ; 6分
（Ⅱ）当 时，构造函数
，由题意有G(x)≤0对x∈[0，+∞)恒成立，因为 .
当a≤0时， ，所以G(x)在[0，+∞)上单调递增，则G(x)＞G(0)=0在(0，+∞)上成立，与题意矛盾.
当a＞0时，令 ，由于
①当a≥1时， 上单调递减，所以 ，所以G(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以G(x)≤G(0)=0在[0，＋∞)上成立，符合题意.
②当0＜a＜1时， ，所以 上单调递增，在 上单调递减，因为 ，所以 成立，即 上成立，所以 上单调递增，则G(x)＞G(0)=0在 上成立，与题意矛盾.
综上知a的最小值为1. 12分
其他合理方法即可.
22.（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
(Ⅰ)证明：连接BE.
∵BC为⊙O的切线 ∴∠ABC＝90°， ……2分
∵∠AEO＝∠CED ∴∠CED＝∠CBE, ……4分
∵∠C＝∠C∴△CED∽△CBE
∴ ∴CE ＝CD•CB……6分
(Ⅱ)∵OB＝1,BC＝2 ∴OC＝
∴CE＝OC－OE＝ －1 ……8分
由(Ⅰ)CE ＝CD•CB 得( －1) ＝2CD
∴CD＝3－ ……10分
23.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
(Ⅰ)依题意有 ， ,因此
M的轨迹的参数方程为 ， ……6分
(Ⅱ)M点到坐标原点的距离
当 时，d=0,故M的轨迹过坐标原点 ……10分
24．（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲
解：（1）
当 时， 解得 不存在
当 时， 解得
当 时， 解得
综上不等式的解集为 …………………………………………………………5分
（2）
当 ， ，
当 时， ，
综上， ……10分
另解：
画出 的图象，如下所示
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