广东省中山市2015届高三下学期第二次模拟考试
数学（理）试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
1.设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A． 3 B． C．5 D．
2．在△ABC中，已知b＝4 ，c＝2 ，∠A＝120°，则 （ ）A．2 B．6 C．2 或6 D．2
3．设a＞1＞b＞0，则下列不等式中正确的是
（A）(-a)7＜(-a)9 （B）b- 9＜b- 7
（C） （D）
4. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 则抛物线的方程是( )
A. B. C. D.
5．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
（A）若 且 ，则
（B）若 且 ，则
（C）若 且 ，则
（D）若 且 ，则
6．已知某锥体的三视图（单位：cm ）
如图所示，则该锥体的体积为
（A）2 （B）4
（C）6 （D）8
7． 的展开式的常数项是
（A）48 （B）﹣48 （C）112 （D）﹣112
8．袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是
（A） （B） （C） （D）
二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．已知复数z满足 = i（其中i是虚数单位），则 ．
10．设 ，其中实数 满足 且 ，则 的取值范围是 ．
11．已知抛物线 上两点 的横坐标恰是方程 的两个实根，则直线 的方程是 ．
12．口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为 ，则随机变量 的数学期望是 ．
13．在△ABC中，∠C=90，点M满足 ，则sin∠BAM的最大值是 ．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题．
14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为 ，曲线 ： 上的点到直线的距离为 ，则 的最大值为 .
15.(几何证明选讲选做题) 如图圆 的直径 , 是 的延长线上一点,过点 作圆 的切线,切点为 ,连接 ,若 ,则 .
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分13分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：
科目甲 科目乙 总计
第一小组 1 5 6
第二小组 2 4 6[]
总计 3 9 12
现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况.
（1）求选出的4 人均选科目乙的概率；
（2）设 为选出的4个人中选科目甲的人数，求 的分布列和数学期望．
18．（本题满分14分）如图所示， ⊥平面 ，
△ 为等边三角形， ， ⊥ ，
为 中点．
（I）证明： ∥平面 ；
（II）若 与平面 所成角的正切值
为 ，求二面角 - - 的正切值．
19．（本小题满分14分）设等差数列 的前n项和为 ，且 ．
数列 的前n项和为 ，且 ， ．
（I）求数列 , 的通项公式；
（II）设 ， 求数列 的前 项和 ．
20．（本题满分14分）已知椭圆Γ： 的离心率为 ，其右焦点 与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线 交于点 ，其斜率 满足 ．设 交椭圆Γ于A、C两点， 交椭圆Γ于B、D两点．
（I）求椭圆Γ的方程；
（II）写出线段 的长 关于 的函
数表达式，并求四边形 面积
的最大值．
21．（本小题满分14分）
设函数 .
（Ⅰ）若 ，求函数 在[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）若函数 在 上存在单调递增区间，试求实数 的取值范围；
16．（本题满分14分）
解：（Ⅰ）由 ，得 ， ……………………1分
又 ，代入得 ，
由 ，得 ， ……………………3分
， ………5分
得 ， ……………………7分
（Ⅱ） ， ……………………9分
， ，则 ……………………11分
……………………14分
17. （本小题满分12分）
解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件 ，
“从第二小组选出的2人选科目乙””为事件 .由于事 件 、 相互独立，
且 , .………………………………4分
所以选出的4人均选科目乙的概率为
…………………………… 6分
（2）设 可能的取值为0,1,2,3.得
, , ，
… 9分
的分布列为
∴ 的数学期望 …………13分
（19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意， ，得 ． …………3分
， ，
，两式相减，得
数列 为等比数列， ． …………7分
（Ⅱ） ．
当 为偶数时，
= ． ……………10分
当 为奇数时，
（法一） 为偶数，
……………13分
（法二）
． ……………13分
……………14分
18．（本题满分15分）
解：（Ⅰ）证明：因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．
依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，所以BM∥CD． …………3分
又因为BM平面PCD，CD平面PCD，所以BM∥平面PCD． …………5分
（Ⅱ）因为CD⊥AC，CD⊥PA，
所以CD⊥平面PAC，故PD与平面
PAC所成的角即为∠CPD．
……………7分
不妨设PA=AB=1，则PC= ．
由于 ，
所以CD= ．……………9分
（方法一）
在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于点F．因为ME⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．
又EF⊥PD，所以∠EFM即为二面角C-PD-M的平面角． ……………12分
易知PE=3EC，ME= ，EF= ，
所以tan∠EFM= ，
即二面角C-PD-M的正切值是 ．
……………15分
（方法二）
以A点为坐标原点，AC为x轴，建立
如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．
则P（0,0,1），
M（ ），C（1,0,0），D ．
则 ， ， ．
若设 和 分别是平面PCD和平面PMD的法向量，则 ，可取 ．
由 ，可取 ． ………12分
所以 ，
故二面角C-PD-M的余弦值是 ，其正切值是 ． ……………15分
21．（本题满分14分）
解：（Ⅰ）设右焦点 （其中 ），
依题意 ， ，所以 ． ……………3分
所以 ，故椭圆Γ的方程是 ． ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F（1,0）．将通过焦点F的直线方程 代入椭圆Γ的方程 ，可得 ，
其判别式 ．
特别地，对于直线 ，若设 ，则
， . ………………10分
又设 ，由于B、D位于直线 的异侧，
所以 与 异号．因此B、D到直线 的距离之和
21．（本小题满分14分）
解: (1) ，……………1分
依题设，有 ，即 ，……………2分
解得 ……………3分
． ……………4分
(2)方程 ，即 ，得 ， ………5分
记 ，
则 . ……6分
令 ，得 ………7分
当 变化时， 、 的变化情况如下表：
∴当 时，F(x)取极小值 ；当 时，F(x)取极大值 …………8分
作出直线 和函数 的大致图象，可知当 或 时，
它们有两个不同的交点，因此方程 恰有两个不同的实根， ………9分
(3) ,得 ，又 。
，
． …………………10分
由 ，得 ，………11分
，即 ………12分
又 ………13分
即 ，故 的整数部分为． …………l4分
．
………12分
综合可得，四边形ABCD的面积 ．
因为 ，所以 ，于是
当 时， 单调递减，所以当 ，即 时，
四边形ABCD的面积取得最大值 ． ……………15分
22．（本题满分14分）
解：（Ⅰ） 时， ，求导可得
……………3分
所以， 在 单调递增，故 的最小值是 ．…………5分
（Ⅱ）依题意， ． ……………6分
（ⅰ）由（Ⅰ）可知，若取 ，则当 时 ，即 ．
于是 ，即知 ．…………8分
所以 ． ……………9分
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