广东省中山市2015届高三下学期第二次模拟考试
数学（文科）
参考公式：
棱锥的体积公式V= sh，其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高
独立性检测中，随机变量
分类变量X与Y有关系的可信度表：
… 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k … 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
一、选择题
1．在复平面内，复数 （ 是虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函数 的定义域为（ ）
A． B．（ ） C． D．（ ）
3、已知向量 ， ，若 与 垂直，则 等于
A . 1 B . 2 C . 4 D .
4．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）
A．12，24，15，9 B．9，12，12，7 C．8，15，12，5 D．8,16,10,6
5、函数 是：（ ）
A . 周期为 的奇函数 B．周期为 的偶函数 []
C． 周期为 的奇函数 D．周期为 的偶函数
6．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，
得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 ( )
A．57.2, 3.6 B．57.2, 56.4 C．62.8, 63.6 D．62.8, 3.6
7．从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( )
A．① B．② ④ C．③ D．① ③
8．已知条件 ，条件 ，则 是 的：
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．下列函数 中，满足“对任意 ， ，当 时，都有
”的函数是（ ）
A． B． C． D．
10、若两个分类变量x和y的列联表为：
y1 y2 合计
x1 10 45 55
x2 20 30 50
合计 30 75 105
则x与y之间有关系的可能性为( )
A．0.1% B．99.9% C．97.5% D．0.25%
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分。
（一）必做题（11～13题）
11．设函数 为奇函数，则 ．
12．在边长为a的正方形ABCD内任取一点P，则P到点A的距离大于a的概率是
13．阅读下边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是___和________
（14题）
（13题）
（二）选做题：考生从以下两题中选做一题，两题均做的，按第一题给分
14．（《几何证明选讲》选做题）如上图，点 是圆 上的点， 且 ，则圆 的面积等于 ．[]
15. （《坐标系与参数方程》选做题）已知直线的极坐标方程为 ，则它与曲线 （ 为参数）的交点的直角坐标是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
16. （本小题满分12分）
设函数 的图象经过点 ．
（Ⅰ）求 的解析式，并求函数的最小正周期和最值．
（Ⅱ）若 ，其中 是面积为 的锐角 的内角，且 ，求 和 的长．
17. （本小题满分12分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙总费用为y(单位：元).
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
18．（本小题满分14分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的
成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130~140分数段的人数为2人．
（Ⅰ）估计这所学校成绩在90~140分之间学生的参赛人数；
（Ⅱ）估计参赛学生成绩的中位数；
（Ⅲ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二
组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．
19．（本小题满分14分）如图，矩形 中， 平面ABE
为 上的点，且 平面 ，
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；（3）求三棱锥 的体积.
20．（本小题满分14分）已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为60，
且a6为a1和a21的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公an及前n项和Sn；
(2)若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an(n∈N*)，且b1＝3，求数列{1bn}的前n项和Tn.
17. (1)如图，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180•2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝ ，
所以y＝225x＋ －360(x＞0).
(2)∵x＞0，∴225x＋ ≥2 ＝10 800.
∴y＝225x＋ －360≥10 440.
当且仅当225x＝ 时，等号成立. 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.
19． （1）证明：∵ 平面 , ，∴ 平面 ,∴ . …2分
又 ∵ 平面 , ∴ ，
∵ ,∴ …………………………4分
（2）证明：连结 ，∵ 平面 , ∴
∵ , ∴ 为 的中点；∵ 矩形 中， 为 中点，
∴ . …… ………………………………………7分
∵ ， ∴ 平面 . ……8分
（3）解：取 中点 ，连结 ，∵ ,∴
∵ 平面 ,∴ ∴ ……10分
∵ 平面 ,∴ ,∴ …11分
∴ ，故三棱锥 的体积为：
…13分
21．（Ⅰ）依题意，得
由 得
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
故
令 ，则 或
①当 时，
当 变化时， 与 的变化情况如下表：
+ — +
单调递增 单调递减 单调递增
由此得，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为
（Ⅲ）当 时，得
由 ，得
由（Ⅱ）得 的单调增区间为 和 ，单调减区间为
所以函数 在 处取得极值。
故
所以直线 的方程为
由 得
令
易得 ，而 的图像在 内是一条连续不断的曲线，故 在 内存在零点 ，这表明线段 与曲线 有异于 的公共点
另：也可由 解得
所以线段 与曲线 有异于 的公共点
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