兰州市2015届高三3月诊断考试
数学（理）试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。
2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．复数 （ 是 虚数单位）的虚部是
A． B． C． D．
3．设 ， ，且 ， 夹角 ，则
A． B． C． D．
4．从数字 、 、 、 、 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为
A． B． C． D．
5．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
A． B． C． D．
6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则
正视图中的 的值是
A．2 B．
C． D．3
7．如图，程序输出的结果 , 则判断框中应填
A．
B．
C．
D．
8．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面， ， ，则 ∥ 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
9．已知不等式组 所表示的平面区域为 ，若直线 与平面区域 有公共点，则 的取值范围为是
A． B．
C． D．
10．在直角坐标系 中，设 是曲线 ： 上任意一点， 是曲线 在点 处的切线，且 交坐标轴于 , 两点，则以下结论正确的是
A． 的面积为定值 B． 的面积有最小值为
C． 的面积有最大值为 D． 的面积的取值范围是
11．已知抛物线 ： 的焦点为 ，以 为圆心的圆 交 于 两点，交 的准线于 两点，若四边形 是矩形，则圆 的标准方程为
A． B．
C． D．
12．己知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 为偶函数， ，则不等式 的解集为
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 ， ，则 ．
14．椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，若椭圆 的离心率等于 ，且它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，则椭圆 的标准方程为 ．
15．已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是 ．
16．数列 的首项为 ，数列 为等比数列且 ，若 ，则 ．
三、解答题：解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ．
（Ⅰ）求 的大小；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱柱 中，底面 是等腰梯形， ∥ ， , ,顶点 在底面 内
的射影恰为点 ．
(Ⅰ)求证： ；
(Ⅱ)若直线 与直线 所成的角为 ,
求平面 与平面 所成角（锐角）的
余弦函数值．
19．（本小题满分12分）
为迎接2015年在兰州举行的“中国兰州国际马拉松赛”，某单位在推介晚会中进行嘉宾现场抽奖活动．抽奖盒中装有大小相同的 个小球，分别印有“兰州马拉松”和“绿色金城行”两种标志，摇匀后，规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球（登记后放回并摇匀），若抽到的两个小球都印有“兰州马拉松”即可中奖，并停止抽奖,否则继续，但每位嘉宾最多抽取 次．已知从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行”标志的概率为 ．
（Ⅰ）求盒中印有“兰州马拉松”标志的小球个数；
（Ⅱ）用 表示某位嘉宾抽奖的次数，求 的分布列和期望．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线 ： 的一条渐近线为 ，右焦点 到直线 的距离为 ．
（Ⅰ）求双曲线 的方程；
（Ⅱ）斜率为 且在 轴上的截距大于 的直线 与曲线 相交于 、 两点，已知 ，若 ，证明：过 、 、 三点的圆与 轴相切．
21．（本小题满分12分）
设函数 ．
（Ⅰ）若函数 是定义域上的单调函数,求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若 ,试比较当 时， 与 的大小；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数 ，不等式 成立．
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何 证明选讲
如图,已知 切⊙ 于点 ,割线 交⊙ 于 、 两点, 的平分线和 、 分别交于点 、 ．求证:
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ．
23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，（ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(Ⅰ) 求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
(Ⅱ) 设 为曲线 上的动点，求点 到 上点的距离的最小值 ．
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C D B D D B A C A A B
7. 解析 ：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10,由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意
11. 解析 ：依题意，抛物线 ： 的焦点为 ,∴圆 的圆心坐标为 ∵四边形 是矩形，且 为直径， 为直径， 为圆 的圆心
∴点 为该矩形的两条对角线的交点，
∴点 到直线 的距离与点 到 的距离相等，又点 到直线 的距离为 ∴直线 的方程为： ∴
∴圆 的半径
∴圆 的方程为：
12. 解析 ：∵ 为偶函数，∴ 的图象关于 对称,∴ 的图象关于 对称∴
设 （ ）,则
又∵ ，∴ （ ），∴函数 在定义域上单调递减
∵ ,而
∴ ∴ 故选B．
二、填空题
13. 14. 15. 16.
15．解析 ：函数 ，则 ，
令 得 ，因为函数 有两个极值点，所以 有两个零点，等价于函数 与 的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作 的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率 ，切线方程为 . 切点在切线上，则 ，又切点在曲线 上，则 ，即切点为（1，0）.切线方程为 . 再由直线 与曲线 有两个交点， 知直线 位于两直线 和 之间，其斜率2a满足：0＜2a＜1，解得实数a的取值范围是 .
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）∵ ，
∴ ∴
∵
∴ …………6分
（Ⅱ）由正弦定理得： ，
∴ ，
∴
∵ ∴
即： …………12分
18. 解：(Ⅰ)证明:连接 ,则 平面 ,
∴
在等腰梯形 中,连接
∵ , ∥
∴
∴ 平面
∴ …………6分
(Ⅱ)解法一:
∵ ∥ ∴
∵ ∴
在底面 中作 ,连接 ,则 ,所以 为平面 与平面 所成角的一个平面角
在 中, ,
∴ ∴
即平面 与平面 所成角(锐角)的余弦函数值为 …………12分
解法二:
由(Ⅰ)知 、 、 两俩垂直，
∵ ∥ ∴ ∴
在等腰梯形 中,连接 因 , ∥ ，
所以 ，建立如图空间直角坐标系，
则 ， ，
设平面 的一个法向量
由 得
可得平面 的一个法向量 ．
又 为平面 的一个法向量．
因此
所以平面 和平面 所成的角(锐角)的余弦值为 .
19. 解（Ⅰ）设印有“绿色 金城行”的球有 个,同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件 ,则同时抽取两球都是“绿色金城行”标志的概率是
由对立事件的概率: = 即 ，
解得 …………6分
（Ⅱ）由已知，两种球各三个， 可能取值分别为 ，
，
(或 )
则 的分布列为：
所以 ． …………12分
20. 解：（Ⅰ）依题意有 ，
∵
∴
∴ ，
∴
∴曲线 的方程为 ……………6分
（Ⅱ）设直 线 的方程为 ，则 ， ， 的中点为
由 得
∴ ，
∵ ，即
∴ （舍）或
∴ ， 点的横坐标为
∵
∴
∴过 、 、 三点的圆以点 为圆心， 为直径
∵ 点的横坐标为
∴
∵
∴过 、 、 三点的圆与 轴相切 ……………12分
21. 解：（Ⅰ）∵ 又函数 在定义域上是单调函数.
∴ 或 在 上恒成立
若 在 上恒成立,即函数 是定义域上的单调地增函数,则 在 上恒成立,由此可得 ；
若 在 上恒成立,则 在 上恒成立.即 在 上恒成立.
∵ 在 上没有最小值
∴不存在实数 使 在 上恒成立.
综上所述,实数 的取值范围是 . ……………4分
（Ⅱ）当 时，函数 .
令
则
显然，当 时， ,
所以函数 在 上单调递减
又 ，所以，当 时，恒有 ,
即 恒成立.
故当 时，有 ……………8分
（Ⅲ）证法一:由（Ⅱ）可知 ( )
∴ ( )
∴ ( )
∴ ………12分
证法二:设
则
∵ ∴
欲证
只需证
只需证
由（Ⅱ）知
即 。
所以原命题成立。
方法三：数学归纳法
证明：1、当 时，左边= ，右边= ，原不等式成立。
2、设当 时，原不等式成立，
即
则当 时，
左边=
只需证明
即证
即证
由（Ⅱ）知
即
令 ，即有 。
所以当 时成立
由1、2知，原不等式成立。
22. 证明: (Ⅰ) 切⊙ 于点 ,
∵ 平分
,
…………5分
(Ⅱ)
∽
同理 ∽ ,
…………10分
23. 解：(Ⅰ)由曲线 ： 得
即：曲线 的普通方程为：
由曲线 ： 得：
即：曲线 的直角坐标方程为: …………5分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知椭圆 与直线 无公共点，
椭圆上的点 到直线 的距离为
所以当 时， 的最小值为 …………10分
24. 解：（Ⅰ）由 得 ，
∴ ，即 ，
∴
∴ …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ,令
则，
∴ 的最小值为4，故实数 的取值范围是 ． …………10分
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