准考证号 姓名
（在此卷上答题无效）
保密★启用前
泉州市2015届普通中学高中毕业班质量检查
文 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
样本数据 、 、…、 的标准差：
，其中 为样本平均数；
柱体体积公式： ，其中 为底面面积， 为高；
锥体体积公式： ，其中 为底面面积， 为高；
球的表面积、体积公式： ， ，其中 为球的半径．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列所给的函数中，定义域为 的是
A． B． C． D．
2．下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是
3．若集合 ， ，则
A． B． C． D．
4．若 ，则 等于
A． B． C． D．
5．若向量 ， 不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
6．已知函数 则方程 解的个数为
A． B． C． D．
7．“ ”是“直线 与 垂直”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的结果为 ，则判断框中应填入
A． B．
C． D．
9．若双曲线 与椭圆 有相同的焦点，则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
10．已知 为两条互不垂直的异面直线， ， . 下列四个结论中，不可能成立的是
A． B．
C． D．
11．函数 的图象如图所示，则函数 有可能是
A．
B．
C．
D．
12．直线 （ 且 ）与圆 交于 两点，记以 为始边（ 为坐标原点）， 为终边的角分别为 ，则 的值
A．只与 有关 B．只与 有关，
C．与 ， 都有关 D．与 ， 都无有关
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷的相应位置．
13．复数 等于__________．（ 是虚数单位）
14．已知 中， ， ， ，则 等于__________．
15．若实数 满足约束条件 则 的取值范围是 ．
16．关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验．借鉴其原理，我们也可以采用计算机随机数模拟实验的方法来估计 的值：先由计算机产生 对 之间的均匀随机数 ；再统计两个数能与1构成钝角三角形三边的数对 的个数 ；最后再根据统计数 来估计 的值. 假如统计结果是 ，那么可以估计 _____________．（精确到 ）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）已知：等差数列 中， ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ， 是数列 的前 项和，试求满足 的最小正整数 ．
18.（本题满分 分）某校为了解高一年段学生的体重情况，先按性别分层抽样获取样本，再从样本中提取男、女生体重数据，最后绘制出如下图表. 已知男生体重在 的人数为 ．
（Ⅰ）根据以上图表，计算体重在 的女生人数 的值；
（Ⅱ）若从体重在 的男生和体重在 的女生中选取 人进行复查，求男、女生各有一人被选中的概率；
（Ⅲ）若体重在 ， ， 的男生人数比为 ，试估算高一年段男生的平均体重．
19．（本小题满分12分）已知函数 ．
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移 个单位，得到函数 的图象．若函数 为偶函数，求 的最小值．
20．（本题满分 分）
在如图1所示的多面体 中，四边形 是正方形， 平面 ， ， ， 是 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）若图2是该多面体的侧视图，求四棱锥 的体积．
21．（本题满分12分）
已知抛物线 ： 的焦点到准线的距离为 ，过点 的直线 交抛物线 于 两点（如图所示）．
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）有人发现，当点 为抛物线的焦点时， 的值与直线 的方向无关．受其启发，你能否找到一个点 ，使得 的值也与直线 的方向无关．
22．（本小题满分14分）
已知函数 ， （ ）， 为 的反函数．
（Ⅰ）若函数 在 处的切线方程为 ，求 的值；
（Ⅱ）当 时，若不等式 恒成立，求 的取值范围；
（Ⅲ）当 时，若对任意 ，方程 在 上总有两个不等的实根，求 的最小值．
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文科数学试题参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，或受篇幅限制、或考虑问题还不够周全，遇多种解法时，一般提供最能体现试题考查意图的最常规和最典型的解法.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．C
7．A 8．A 9．C 10．B 11．A 12．B
部分试题考查意图说明：
第5题 考查基底概念——不共线，平面向量的运算.
第6题 考查分段函数、分类整合思想、对数运算.
第7题 考查直线与直线位置关系和充要每件概念,考查运算求解能力.
第8题 考查程序框图、对数运算，考查运算求解能力与推理论证能力.
第9题 考查椭圆与双曲线的方程和性质，考查运算求解能力.
第10题 考查空间线面位置关系及异面直线的概念，考查空间想象能力和推理论证能力.
第11题 考查三角函数和函数的奇偶性、单调性，考查推理论证和抽象概括能力，考查创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想等. 根据图象的对称性和函数的奇偶性先排除C，D选项；当 时， 且 ， ， ，排除B.也可根据单调性，确定A或排除B.
第12题 显性考查直线与圆的位置关系，隐性考查三角函数的定义以及两角和的三角函数公式，考查推理论证和抽象概括能力以及创新意识，考查数形结合思想、特殊与一般思想、分类与整合思想等. 可考察直线 与圆的交点，得到 与 的表达式；可考虑按 定 变与 变 定分类，特殊化地考察 的值；也可通过作图，分析 与倾斜角 的关系判断答案.
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.
13． ； 14． ； 15． ； 16. .
部分试题考查意图说明：
第16题 本题综合考查线性规划、随机模拟方法、几何概型等知识，体现对数据处理能力的考查，体现对以频率估计概率的统计思想的考查，体现对必然与或然思想的考查。
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，
所以 ， ， …………2分
又由 ，得 ． …………4分
所以 ． …………6分
（Ⅱ）由 ，得 ，
因为 ，所以数列 是首项 ，公比 的等比数列．…8分
故 ． …………10分
由 ，可得 .
因为 ，
所以 ，即 ，
注意到 是单调递增函数，
所以满足 的最小正整数 的值为6． …………12分
18．本小题主要考查频率分布直方图、频率分布图表、古典概型、用频率估计概率的统计思想等统计与概率的基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想等.. 满分12分.
解：（Ⅰ）由男生体重数据频率分布直方图可知，体重落在区间 的频率为 ． …………1分
因为男生体重在 的人数为 ，
所以本次抽样中男生抽取的总人数为 . …………2分
因为样本是按性别分层抽样获取的，
所以根据饼图描述的男，女生人数比，可知女生抽取的总人数为 ．…………3分
所以体重落在区间 的女生人数为
． …………4分
（Ⅱ）体重落在区间 的男生人数为 . …………5分
记体重落在 的 名男生为 ，体重落在 的 名女生为 ．
则事件“从体重在 的男生和体重在 的女生中选取 人进行复查”包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，总数为 .
记 “男、女生各有一人被选中” 的事件为 ，则事件 包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ，共 个. …………6分
因为事件空间中基本事件个数有限，且每个基本事件发生的可能性相同，所以该概率模型属于古典概率模型， ………7分
所以男、女生各有一人被选中的概率 ． …………8分
（Ⅲ）因为体重在 ， ， 的男生人数比为 ，
又由（Ⅰ）可知体重落在区间 的频率为 ，
所以男生第 ， ， 组体重数据的频率分别为 ， ， . …………10分
因为由直方图可知，男生第 ， ， 组体重数据的频率分别为 ， ， ，
所以样本中 名男生的平均体重约为：
.……11分
以样本估计总体，可以估计高一年段男生平均体重为 公斤． …………12分
19．本小题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象变换、函数的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等．. 满分12分.
解：（Ⅰ）方法一：
因为 ．…3分
所以由 可得 ． …………4分
所以 ． …………6分
方法二：
因为 ， …2分
所以由 可得 ． …………3分
所以 ． …………5分
（Ⅱ） （用方法一者此处补上化简的1分）
依题意得 ． …………8分
因为 为偶函数，可得 ，则 ， ．……11分
因为 ，所以当 时， 取得最小值 ． …………12分
20．本小题主要考查空间中直线与平面的位置关系、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等. 满分12分.
解：（Ⅰ）连接 ，设 ，则 为 的中点.
连接 ,则 . …………1`分
又∵ ，且 ，∴ ，
∴ 是平行四边形， . …………2分
∵ 平面 , 平面 ，
∴ 平面 ． …………4分
（Ⅱ）∵ ， 底面 ，
∴ 底面 ， …………5分
又∵ 平面 ,∴ .
∵四边形 是正方形，∴ .
∵ 平面 , ，
∴ 平面 . …………7分
由（Ⅰ）知
∴ 平面 ． …………8分
又∵ 平面 ，∴平面 平面 ． …………9分
（Ⅱ）由侧视图可知， . …………10分
∵四边形 是正方形，∴ ．
∵ 平面 ， ，∴ ，
又∵ ， ，∴ 平面 ． ……………11分
则 ． …………12分
21．本小题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）因为抛物线 ： 中 的几何意义就是焦点到准线的距离，
所以抛物线 的方程是 ． …………2分
（Ⅱ）解法一：
因为直线 交抛物线 于 两点，所以直线 的斜率必不为 .
设直线 ． …………3分
联立方程组 得 . …………4分
当 ，即 时，直线 与抛物线 相交， …………5分
设交点的坐标为 ，则 ． …………6分
所以 ，同理可得 ，
所以
.（） ……10分
若 是定值，则式子（）与 的取值无关.
因为当且仅当 时，式子（）与 的取值无关，
所以存在唯一的一个点 ，使得 的值也与直线 的方向无关（此时， 恒为定值 ）． …………12分
解法二：
由条件可知直线 的斜率不为0，
若直线 的斜率 存在，设直线 ， …………3分
联立方程组 得 ， …………4分
当 时，直线 与抛物线 相交. ……5分
设交点的坐标为 ，则 ．…………6分
所以 ，同理可得 ，
所以
（） …………9分
若 是定值，则式子（）的值与 无关.
因为当且仅当 ， 时，式子（）的值与 无关，
所以存在点 ，使得 恒为定值 ． …………10分
若直线 斜率不存在，即直线 ： ，
此时 ，也满足 ． …………11分
综上可知，能找到一个点 ，使得 的值也与直线 的方向无关（如取 ，则 恒为定值 ）． …………12分
22．本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想等．满分14分.
解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ，
由 ，解得 . ……2分
因为切点坐标为 ，
代入函数式 ，可得 ． ……4分
（Ⅱ）当 时， ．
因为 为 的反函数，所以 （ ）． ……5分
所以 即 .
方法一：
又因为 ，所以 等价于 ． …………6分
令 ，则 .
解 ，得 ；解 ，得 ；解 ，得 ．
所以 在 单调递增，在 单调递减，
由上可知 ， ……8分
故实数 的取值范围是 . ……9分
方法二：
令 ，
当 时，因为存在 ，使得 ，
所以 不恒为正数. …………6分
当 时， ,
因为 ，
所以解 ，得 ；解 ，得 ；解 ，得 ．
故 在 递减，在 递增，
所以 . …………8分
令 得 ，
故实数 的取值范围是 . ……9分
方法三：
设直线 与 的图象切于点 ，
则 且 在直线 上，
所以 ,即直线 与 的图象切于点 . ……8分
通过考察函数 与 的图象，
可知不等式 恒成立时， 的取值范围为 . ……9分
（Ⅲ）解法 ：
当 时， 即 ， ．
令 ，则 .
方程 在 上总有两个不等的实根等价于
函数 的图象与 轴在 上有两个不同的交点． ……10分
（ⅰ）当 时，
因为 ，所以 ，
所以函数 在 单调递减，
从而函数 在 内的零点最多一个，不符合题意. …11分
（ⅱ）当 时，因为 ，
解 ，得 ；解 ，得 ；解 ，得 .
所以函数 在 单调递减，在 单调递增.
① 当 时，因为 在 单调递减，
所以函数 在区间 内的零点最多一个，不符合题意要求；……12分
②当 时，因为当 趋于 时， 的值趋于正无穷大，
所以当且仅当 时函数 在 有两个零点．
由 得 ，即 对 恒成立.
因为对任意的 时， ，
所以， 等价于 .
再令 ，则 .
解 得 ；解 得 ；解 得 .
所以函数 在 单调递增，在 单调递减.
所以 ，故 的解为 ．
由 得 即 对 恒成立.
因为 ，所以 ，
所以 的解为 ．
所以 的解为 . …………13分
综合①②得 .
综合（ⅰ）（ⅱ）得满足题意要求的实数 的最小值为 ． …………14分
解法 ：
当 时， 即 ，得 ．
方程 在 上总有两个不等的实根等价于函数 与 的图象在 上有两个不同的交点．…………10分
因为直线 的斜率为 ，过定点 ，
且由 可得 ， ． …………11分
所以当且仅当 时， 与 的图象在 上有两个不同的交点． …………12分
又因为 对任意 恒成立，
所以 ． …………13分
综上所述，满足题意要求的实数 的最小值为 ． …………14分
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