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2015年江西省高考适应性测试
理科数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2. 回答第Ⅰ卷时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答且卡一并交回．
第I卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2．复数 对应的点在复平面内位于
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．命题“ ”的否定是
A． B． C． D．
4．已知函数 ， ，那么
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 是奇函数 D. 是偶函数
5．已知等比数列 中， ，则
A. 有最小值6 B. 有最大值6 C. 有最小值6或最大值 D.有最大值
6．下列程序框图中，则输出的 值是
A． B． C． D．
7．已知函数 （ ）的部分图像如图所示，则 的图象可由 的图象
A．向右平移 个长度单位 B．向左平移 个长度单位
C．向右平移 个长度单位 D．向左平移 个长度单位
8．已知抛物线 ，那么过抛物线 的焦点，长度为不超过 2015的整数的弦条数是
A． 4024 B． 4023 C．2012 D．2015
9．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
10．已知函数 ，若实数x0满足 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
11．已知函数 ，若 的图像与 轴有 个不同的交点，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B．1 C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求作答．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 展开式中的常数项为 .
14. 已知向量 , ,若存在向量 ,使得 ， ,则 = .
15．若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是 .
16.对椭圆有结论一：椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线 交椭圆于 两点，点 关于 轴的对称点为 ，则直线 过点 。类比该结论，对双曲线有结论二，根据结论二知道：双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线与双曲线 右支有两交点 ，若点 的坐标是 ，则在直线 与双曲线的另一个交点坐标是__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知数列 的前 项和为 ，且 ， 为等比数列.
（Ⅰ）求证： 是等差数列；（Ⅱ）求 的取值范围.
18. （本小题满分12分）
某校进行教工趣味运动会，其中一项目是投篮比赛，规则是：每位教师投二分球四次，投中三个可以再投三分球一次，投中四个可以再投三分球三次，投中球数小于3则没有机会投三分球，所有参加的老师都可以获得一个小奖品，每投中一个三分球可以再获得一个小奖品。某位教师二分球的命中率是 ，三分球的命中率是 .
（Ⅰ）求该教师恰好投中四个球的概率；
（Ⅱ）记该教师获得奖品数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.
19．（本小题满分12分）
如图，已知在直三棱柱 中, ， ，点D是线段 的中点.
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）当三棱柱 的体积最大时，求直线 与平面 所成角 的正弦值.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆 的左右焦点分别是 ，直线 的方程是 ，点 是椭圆 上动点（不在 轴上），过点 作直线 的垂线交直线 于点 ，当 垂直 轴时，点 的坐标是 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）判断点 运动时，直线 与椭圆 的公共点个数，并证明你的结论.
21．（本小题满分12分）
已知函数 （其中 ），函数 在点 处的切线过点 .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 与函数 的图像在 有且只有一个交点，求实数 的取值范围.
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，
做答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修 ：几何证明选讲
如图，圆内接四边形 的边 与 的延长线交于点 ，点 在 的延长线上．
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）若 ，证明： ．
23.（本小题满分10分）选修 ；坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为： ．
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；
（Ⅱ）若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
24.（本小题满分10分）选修 ：不等式选讲
已知函数 ，
（Ⅰ）解关于 的不等式 ；
（Ⅱ）若函数 的图像恒在函数 图像的上方，求实数 的取值范围.
2015年江西省高考适应性测试参考答案
理科数学
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B D A C C A B D B C C
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13. 70 14. （2,2） 15.512 16.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解：（Ⅰ） ， ，
， 是以 为首项，公差 的等差数列 …………6分
（Ⅱ） ， ……..①
……..②， 由①-②得 ………8分
当 时， ， 从第1项开始递增, …………12分
18.解：（Ⅰ）该位教师投中四个球可以分为两个互斥事件，投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球，所以概率是 ； ……………4分
（Ⅱ） 可能取值有 ，
，
，
， ， ……………9分
所以 的分布列是
1 2 3 4
数学期望是 。 ……………12分
19.（Ⅰ）证明：记 ， 为三角形 的中位线，
∥ ， 平面 , 平面 ，
所以 ∥平面 ………4分
（Ⅱ）当三棱柱 的底面积最大时，体积最大，
当 ，三角形 为正三角形时取最大值………7分
设点 到平面 的距离为 ，由 得
………10分
………12分
（另解）（Ⅱ）依题意，如图以D为原点，直线DA，DC分别为x,y轴建立空间坐标系，
则
设面 的法向量为 ，
设 ， ， ………10分
………12分
20.解：（Ⅰ）由已知得 ，当 轴时，点 ，
由 得 ,
解得 ， ，所以椭圆 的方程是 。 ……………4分
（Ⅱ）设点 ，则 ，设点 ，
由 得： ，所以 ，……………6分
所以直线 的方程为： ，
即 ，
即 ，
化简得： ， ……………9分
代入椭圆方程得： ，
化简得： ，
判别式△ ，所以直线 与椭圆有一个公共点。 ……………12分
21.解：（1） ，
，切线过点 ，
① 当 时， 单调递增， 单调递减
② 当 时， 单调递减， 单调递增 ……………5分
（2）等价方程 在 只有一个根
即 在 只有一个根
令 ，等价函数 在 与 轴只有唯一的交点
① 当 时， 在 递减， 的递增
当 时， ，要函数 在 与 轴只有唯一的交点
或 ， 或 ……………9分
②当 时， 在 递增， 的递减， 递增
，当 时， ，
在 与 轴只有唯一的交点 ……………10分
③当 ， 在 的递增
在 与 轴只有唯一的交点
故 的取值范围是 或 或 . ……………12分
22. 证明：（Ⅰ） 四点共圆， ，
又 ， ∽ ， ，
， ．……………5分
（Ⅱ） ，
又 四点共圆， ，
，
又 ， ∽ ，
……………10分
23. 解：（Ⅰ）ρ2＝x2＋y2 ρcosθ＝x，ρsinθ＝y
∴圆的普通方程为 ………5分
（Ⅱ）由 (x－2)2＋y2＝2 ………………7分
设 (α为参数)
所以x＋y的最大值4，最小值0 …………………10分
24. 解：（Ⅰ）由 得 ，
故不等式的解集为 …………5分
（Ⅱ）∵函数 的图象恒在函数 图象的上方
∴ 恒成立，即 恒成立 ………………8分
∵ ，
∴ 的取值范围为 . …………………………………………10分
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