唐山市2014-2015学年度高三年级第一次模拟考试
理 科 数 学
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2、 （ ）
A． B． C． D．
3、已知抛物线的焦点 （ ），则抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
4、命题 ， ；命题 ，函数 的图象过点 ，则（ ）
A． 假 真 B． 真 假
C． 假 假 D． 真 真
5、执行右边的程序框图，则输出的 是（ ）
A． B．
C． D．
6、在直角梯形 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7、已知 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
8、 展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
9、函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
10、 是双曲线 （ ， ）的右焦点，过点 向 的一条渐近线引垂线，垂足为 ，交另一条渐近线于点 ．若 ，则 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
11、直线 分别与曲线 ， 交于 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、已知 ， ，若 ，则 ．
14、为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为 ．由以上信息，得到下表中 的值为 ．
天数 （天）
3 4 5 6 7
繁殖个数 （千个） 3 4 6
15、在半径为 的球面上有不同的四点 ， ， ， ，若 ，则平面 被球所截得图形的面积为 ．
16、已知 ， ，满足 ，则 的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分）设数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ．
求 的通项公式；
若 ， ， 成等差数列，求证： ， ， 成等差数列．
18、（本小题满分12分）小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．
若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；
若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为 ，求 的分布列和期望．
19、（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱 中，侧面 与侧面 都是菱形， ， ．
求证： ；
若 ，求二面角 ．
20、（本小题满分12分）已知圆 ，点 ，以线段 为直径的圆内切于圆 ，记点 的轨迹为 ．
求曲线 的方程；
直线 交圆 于 ， 两点，当 为 的中点时，求直线 的方程．
21、（本小题满分12分）已知函数 ， ．
时，证明： ；
，若 ，求 的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，圆周角 的平分线与圆交于点 ，过点 的切线与弦 的延长线交于点 ， 交 于点 ．
求证： ；
若 ， ， ， 四点共圆，且 ，求 ．
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知椭圆 ，直线 （ 为参数）．
写出椭圆 的参数方程及直线 的普通方程；
设 ，若椭圆 上的点 满足到点 的距离与其到直线 的距离相等，求点 的坐标．
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 ．
当 时，解不等式 ；
若 的最小值为 ，求 的值．
参考答案
一、选择题：
1、C 2、A 3、B 4、A 5、B 6、B 7、D 8、C 9、A 10、C 11、D 12、C
二、填空题：
13、5 14、6 15、16π 16、[4，12]
三、解答题：
17、解：（Ⅰ）当n＝1时，由(1－q)S1＋qa1＝1，a1＝1．
当n≥2时，由(1－q)Sn＋qan＝1，得(1－q)Sn－1＋qan－1＝1，两式相减得an＝qan－1，
又q(q－1)≠0，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列，
故an＝qn－1． …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知Sn＝1－anq1－q，又S3＋S6＝2S9，得1－a3q1－q＋1－a6q1－q＝2(1－a9q)1－q，
化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8．
故a2，a8，a5成等差数列． …12分
18、解：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A，P(A)＝C12× 1 3× 2 3＝ 4 9． …4分
（Ⅱ）X的所有可能值为0，5，10，15，20．
P(X＝0)＝ ( 2 3)2× 2 3＝827， P(X＝5)＝C12× 1 3×( 2 3)2＝827，
P(X＝10)＝( 1 3)2× 2 3＋( 2 3)2× 1 3＝627， P(X＝15)＝C12×( 1 3)2× 2 3＝427，
P(X＝20)＝( 1 3)3＝127． …10分
X的分布列：
X 0 5 10 15 20
P 827
827
627
427
127
E(X)＝0×827＋5×827＋10×627＋15×427＋20×127＝203． …12分
19、解：（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则
△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．
取CC1中点O，连OA，OB1，则
CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则
CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1． …4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝3，又AB1＝6，
所以OA⊥OB1．如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，
则C(0，－1，0)，B1(3，0，0)，A(0，0，3)， …6分
设平面CAB1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 因为AB1→＝(3，0，－3)，AC→＝(0，－1，－3)，
所以3×x1＋0×y1－3×z1＝0，0×x1－1×y1－3×z1＝0，取m＝(1，－3，1)． …8分
设平面A1AB1的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 因为AB1→＝(3，0，－3)，AA1→＝ (0，2，0)，
所以3×x2＋0×y2－3×z2＝0，0×x1＋2×y1＋0×z1＝0，取n＝(1，0，1)． …10分
则cosm，n＝m•n|m||n|＝25×2＝105，因为二面角C-AB1-A1为钝角，
所以二面角C-AB1-A1的余弦值为－105． …12分
20、解：（Ⅰ）设AB的中点为M，切点为N，连OM，MN，则|OM|＋|MN|＝|ON|＝2，取A关于y轴的对称点A，
连AB，故|AB|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4．
所以点B的轨迹是以A，A为焦点，长轴长为4的椭圆．
其中，a＝2，c＝3，b＝1，则曲线Γ的方程为x24＋y2＝1． …5分
（Ⅱ）因为B为CD的中点，所以OB⊥CD，
则OB→⊥AB→．设B(x0，y0)，
则x0(x0－3)＋y02＝0． …7分
又x024＋y02＝1 解得x0＝23，y0＝±23．
则kOB＝±22，kAB＝ 2， …10分
则直线AB的方程为y＝±2(x－3)，
即x－y－6＝0或2x＋y－6＝0． …12分
21、解：（Ⅰ）令p(x)＝f(x)＝ex－x－1，p(x)＝ex－1，
在(－1，0)内，p(x)＜0，p(x)单减；在(0，＋∞)内，p(x) ＞0，p(x)单增．
所以p(x)的最小值为p(0)＝0，即f(x)≥0，
所以f(x)在(－1，＋∞)内单调递增，即f(x)＞f(－1)＞0． …4分
（Ⅱ）令h(x)＝g(x)－(ax＋1)，则h(x)＝ 2 x＋1－e－x－a，
令q(x)＝ 2 x＋1－e－x－a，q(x)＝ 1 ex－ 2 (x＋1)2．
由（Ⅰ）得q(x)＜0，则q(x)在(－1，＋∞)上单调递减． …6分
（1）当a＝1时，q(0)＝h(0)＝0且h(0)＝0．
在(－1，0)上h(x)＞0，h(x)单调递增，在(0，＋∞)上h'(x)＜0，h(x)单调递减，
所以h(x)的最大值为h(0)，即h(x)≤0恒成立． …7分
（2）当a＞1时，h(0)＜0，
x∈(－1，0)时，h(x)＝ 2 x＋1－e－x－a＜ 2 x＋1－1－a＝0，解得x＝1－aa＋1∈(－1，0)．
即x∈(1－aa＋1，0)时h(x)＜0，h(x)单调递减，
又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． …9分
（3）当0＜a＜1时，h(0)＞0，
x∈(0，＋∞)时，h(x)＝ 2 x＋1－e－x－a＞ 2 x＋1－1－a＝0，解得x＝1－aa＋1∈(0，＋∞)．
即x∈(0，1－aa＋1 )时h(x)＞0，h(x)单调递增，
又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． …11分
综上，a的取值为1． …12分
22、解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC＝∠DAC，∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，
所以∠EDC＝∠DCB，
所以BC∥DE． …4分
（Ⅱ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED
由（Ⅰ）知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF．
设∠DAC＝∠DAB＝x，
因为AC⌒＝BC⌒，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，
所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，
在等腰△ACF中，π＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x＝ π 7，
所以∠BAC＝2x＝2π7． …10分
23、解：（Ⅰ）C：x＝2cosθ，y＝3sinθ（θ为为参数），l：x－3y＋9＝0． …4分
（Ⅱ）设P(2cosθ，3sinθ),则|AP|＝(2cosθ－1)2＋(3sinθ)2＝2－cosθ，
P到直线l的距离d＝|2cosθ－3sinθ＋9|2＝2cosθ－3sinθ＋92．
由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝ 3 5， cosθ＝－ 4 5．
故P(－ 8 5， 33 5)． …10分
24、解：（Ⅰ）因为f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝－3x， x≤－1；－x＋2，－1≤x≤ 1 2；3x， x≥ 1 2
且f(1)＝f(－1)＝3，所以，f(x)＜3的解集为{x|－1＜x＜1}； …4分
（Ⅱ）|2x－a|＋|x＋1|＝|x－ a 2|＋|x＋1|＋|x－ a 2|≥|1＋ a 2|＋0＝|1＋ a 2|
当且仅当(x＋1)(x－ a 2)≤0且x－ a 2＝0时，取等号．
所以|1＋ a 2|＝1，解得a＝－4或0． …10分
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