上海市十三校2015届高三第二次（3月）联考
数学理试题
一、填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，每个空格填对4 分，否则一律得零分.
1、幂函数 在区间 上是减函数，则m= __________.
2、函数1 的定义域为__________.
3、在ABC中，BC = 8、 AC =5，且三角形面积S =12，则cos 2C = __________.
4、设i为虚数单位，若关于x的方程 有一实根为n，则m =_______.
5、若椭圆的方程为 且此椭圆的焦距为4，则实数a = __________.
6、若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120º、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是__________.
7、若关于x的方程 上有解，则实数a的取值范围为__________.
8、《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？___________.（只需写出一个答案即可）
9、在极坐标系中，某直线的极坐标方程为 ，则极点O 到这条直线的距离为__________.
10、设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取两个球，令取到白球的个数为 ，且 的数学期望
，则口袋中白球的个数为__________.
11、如右图所示，一个确定的凸五边形 ABCDE ，令 ，
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则x 、y 、z 的大小顺序为__________.
12、设函数 f ( x)的定义域为D， ，它的对应法则为 f : x→sin x，现已
知 f ( x)的值域为 ，则这样的函数共有__________个.
13、若多项式
14、在平面直角坐标系中有两点 ，以原点为圆心，r > 0为半径作一个圆，与射线 交于点M ，与x轴正半轴交于N ，则当r变化时， |AM |+| BN |的最小值为__________.
二、选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5 分，否则一律得零分.
15、若非空集合 A中的元素具有命题 的性质，集合B中的元素具有命题 的性质，若 A B，则命题 是命题 的__________条件.
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要
16、用反证法证明命题：“已知a、b ，如果ab可被 5 整除，那么a、b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为__________.
A. a 、b 都能被5 整除 B. a 、b 都不能被5 整除 C. a 、b 不都能被5 整除 D. a 不能被5 整除
17、实数x、 y 满足 ，则x - y的最大值为__________.
18、直线m ⊥平面 ，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面 上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是__________.
三、解答题（本大题满分74 分）本大题共5 题，解答下列各题须写出必要的步骤.
19、（本题满分12 分） 本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分6 分.
已知正四棱柱 ，底面边长为 ，点P、Q、R分别在棱 上，Q 是BB1 中点，且PQ / /AB ，
（1）求证： ；
（2）若 ，求四面体C1PQR 的体积.
20、（本题满分14 分） 本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分.
已知数列 满足 ，设数列 的前n 项和是 .
（1）比较 的大小；
（2）若数列 的前n项和 ，数列 ，求d 的取值范围使得 是递增数列.
21、（本题满分14 分） 本题共有3 个小题，第1 小题满分5 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分3 分.
某种波的传播是由曲线 来实现的，我们把函数解析式 称为“波”，把振幅都是A 的波称为“ A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加.
（1）已知“1 类波”中的两个波 叠加后仍是“1类波”，求 的值；
（2）在“ A 类波“中有一个是 ，从 A类波中再找出两个不同的波 ，使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后 ，并说明理由.
（3）在 个“ A类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例. 只需写出推广的结论，而不需证明.
22、（本题满分16 分） 本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分6 分.
设函数 .
（1）若a=0，当 时恒有 ，求b 的取值范围；
（2）若 且b =－1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数 的图像永远不经过这两点；
（3）若 ，函数 在区间[3, 4]上至少有一个零点，求 的最小值.
23、（本题满分18 分） 本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分8 分.
设有二元关系 ，已知曲线
（1）若a =2时，正方形 ABCD的四个顶点均在曲线 上，求正方形 ABCD的面积；
（2）设曲线 与x轴的交点是M 、N ，抛物线 与 y 轴的交点是G ，直线MG与曲线 交于点P，直线NG 与曲线 交于Q，求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标.
（3）设曲线 与x轴的交点是 ，可知动点 在某确定的曲线 上运动，曲线 与上述曲线 在 时共有四个交点： ，集合 的所
有非空子集设为 ，将 中的所有元素相加（若i Y 中只有一个元素，则其是其自身）得到255 个数 ，求所有的正整数n 的值，使得 是与变数a及变数 均无关的常数.
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