河北唐山2015高三第一次模拟考试数学文
一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）
1. 已知全集 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 已知抛物线的焦点 （ ），则抛物线的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
4. 命题 ， ；命题 ，函数 的图象过点 ，则（ ）
A. 假 假 B. 真 假
C. 假 真 D. 真 真
5. 执行右边的程序框图，则输出的 是（ ）
A. B.
C. D.
6. 设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在直角梯形 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知 ，则 （ ）
A. 或 B. 或 C. D.
10. 函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
11. 是双曲线 （ ， ）的右焦点，过点 向 的一条渐近线引垂线，垂足为 ，交另一条渐近线于点 . 若 ，则 的离心率是（ ）
A. B. C. D.
12. 直线 分别与曲线 ， 交于 ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. ）
13. 函数 的定义域是 .
14. 已知 ， ，若 ，则 .
15. 一枚质地均匀的正方体玩具，四个面标有数字 ，其余两个面标有数字 ，抛掷两次，所得向上数字相同的概率是 .
16. 在半径为 的球面上有不同的四点 ， ， ， ，若 ，则平面 被球所截得图形的面积为 .
三. 解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）
17. （本小题满分12分）设数列 的前 项和为 ，满足 ，且 .
求 的通项公式；
若 ， ， 成等差数列，求证： ， ， 成等差数列.
18. （本小题满分12分）为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据：
天数 （天）
3 4 5 6 7
繁殖个数 （千个）
3 4
6
求 关于 的线性回归方程；
利用 中的回归方程，预测 时，细菌繁殖个数.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
， .
19. （本小题满分12分）如图，在斜三棱柱 中，侧面 与侧面 都是菱形， ， .
求证： ；
若 ，求四棱锥 的体积.
20. （本小题满分12分）已知圆 ，点 ，以线段 为直径的圆 内切于圆 ，记点 的轨迹为 .
求曲线 的方程；
当 与圆 相切时，求直线 的方程.
21. （本小题满分12分）已知函数 ， .
若函数 在定义域上是增函数，求 的取值范围；
求 的最大值.
请考生在第22. 23. 24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，圆周角 的平分线与圆交于点 ，过点 的切线与弦 的延长线交于点 ， 交 于点 .
求证： ；
若 ， ， ， 四点共圆，且 ，求 .
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知椭圆 ，直线 （ 为参数）.
写出椭圆 的参数方程及直线 的普通方程；
设 ，若椭圆 上的点 满足到点 的距离与其到直线 的距离相等，求点 的坐标.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
当 时，解不等式 ；
若 的最小值为 ，求 的值.
参考答案
一. 选择题：
1. B 2. D 3. A 4. C 5. B 6. D 7. B 8. C 9. A 10. D 11. A 12. C
二. 填空题：
13. （－∞，－1] 14. 5 15. 5 9 16. 3π
三. 解答题：
17. 解：（I）当n＝1时，由（1－q）S1＋q＝1，
当n≥2时，由（1－q）Sn＋qn＝1，得（1－q）Sn－1＋qn－1＝1，两式相减得（1－q）an＋qn－qn－1＝0，
因为q（q－1）≠0，得an＝qn－1，当n＝1时，a1＝1.
综上an＝qn－1. …6分
（II）由（I）可知anan－1＝q，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列.
所以Sn＝1－anq1－q，又S3＋S6＝2S9，得1－a3q1－q＋1－a6q1－q＝2(1－a9q)1－q，
化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8.
故a2，a8，a5成等差数列. …12分
18. 解：（I）由表中数据计算得，t-＝5，y-＝4，ni＝1∑(ti－t-)(yi－y-)＝8. 5，ni＝1∑(ti－t-)2＝10，
bˆ＝ni＝1∑(ti－t-)(yi－y-)ni＝1∑(ti－t-)2＝0. 85，aˆ＝y-－bˆt-＝－0. 25.
所以，回归方程为yˆ＝0. 85t－0. 25. …8分
（II）将t＝8代入（I）的回归方程中得yˆ＝0. 85×8－0. 25＝6.55.
故预测t＝8时，细菌繁殖个数为6. 55千个. …12分
19. 解：（I）证明：连AC1，CB1，则
△ACC1和△B1CC1皆为正三角形.
取CC1中点O，连OA，OB1，则
CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则
CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1. …6分
（II）解：由（I）知，OA＝OB1＝3，又AB1＝6，
所以OA⊥OB1. 又OA⊥CC1，OB1∩CC1＝O，
所以OA⊥平面BB1C1 C.
S□BB1C1C＝BC×BB1sin60°＝23，
故VA－BB1C1C＝ 1 3S□BB1C1C×OA＝2. …12分
20. 解：（I）设切点为P，连OO1，O1P，
则|OO1|＋|O1P|＝|OP|＝2，取A关于y轴的对称点A，连AB，故
|AB|＋|AB|＝2（|OO1|＋|O1P|）＝4.
所以点B的轨迹是以A，A为焦点，长轴长为4的椭圆.
其中，a＝2，c＝3，b＝1，则
曲线Γ的方程为x24＋y2＝1. …5分
（II）因为OB与圆O1相切，所以OB→⊥AB→.
设B（x0，y0），则x0（x0－3）＋y02＝0. …7分
又 ，解得x0＝23，y0＝±23.
则kOB＝±22，kAB＝ 2，…10分
则直线AB的方程为y＝±2（x－3），即x＋y－6＝0或2x－y－6＝0…12分
21. 解：（I）由题意得x＞0，f（x）＝1－ 2 x＋ a x2. …1分
由函数f（x）在定义域上是增函数得，f（x）≥0，即a≥2x－x2＝－（x－1）2＋1（x＞0）.
因为－（x－1）2＋1≤1（当x＝1时，取等号），
所以a的取值范围是[1，＋∞）. …5分
（Ⅱ）g（x）＝ex（ 2 x－1＋2lnx－x），…7分
由（I）得a＝2时，f（x）＝x－2lnx－ 2 x＋1
且f（x）在定义域上是增函数得，又f（1）＝0，
所以，当x∈（0，1）时，f（x）＜0，当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞0. …10分
所以，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，g（x）＜0.
故x＝1时，g（x）取得最大值－e. …12分
22. 解：（I）证明：因为∠EDC＝∠DAC，∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，
所以∠EDC＝∠DCB，
所以BC∥DE. …4分
（II）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED
由（1）知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.
设∠DAC＝∠DAB＝x，
因为AC⌒＝BC⌒，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，
所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，
在等腰△ACF中，π＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x＝ π 7，
所以∠BAC＝2x＝2π7. …10分
23. 解：（I）C：x＝2cosθ，y＝3sinθ（θ为为参数），l：x－3y＋9＝0. …4分
（Ⅱ）设P（2cosθ，3sinθ）,则|AP|＝(2cosθ－1)2＋(3sinθ)2＝2－cosθ，
P到直线l的距离d＝|2cosθ－3sinθ＋9|2＝2cosθ－3sinθ＋92.
由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝ 3 5，cosθ＝ .故P（－ 8 5， 33 5）. …10分
24. 解：（I）因为f（x）＝|2x－1|＋|x＋1|＝－3x， x≤－1；－x＋2，－1≤x≤ 1 2；3x， x≥ 1 2
且f（1）＝f（－1）＝3，所以，f（x）＜3的解集为{x|－1＜x＜1}；…4分
（II）|2x－a|＋|x＋1|＝|x－ a 2|＋|x＋1|＋|x－ a 2|≥|1＋ a 2|＋0＝|1＋ a 2|
当且仅当（x＋1）（x－ a 2）≤0且x－ a 2＝0时，取等号.
所以|1＋ a 2|＝1，解得a＝－4或0. …10分
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