河南省商丘市2015届高三第一次模拟考试数学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合A＝{x｜－2＜x＜1}，B＝{x｜0＜x＜2}，则集合A∩B＝
A．{x｜－1＜x＜1} B．{x｜－2＜x＜1}
C．{x｜－2＜x＜2} D．{x｜0＜x＜1}
2．设复数z满足（1－i）z＝2i，则z＝
A．－1－i B．－1＋i C．1＋i D．1－i
3．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知cosα＝－ ，且α∈（ ，π），则tan（ －α）＝
A．－ B．－7 C． D．7
5．若双曲线 （a＞0）的离心率为2，则a
等于
A．2 B．
C． D．1
6．下面框图表示的程序所输出的结果是
A．1320 B．132
C．11880 D．121
7．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半
圆），则该几何体的表面积是
A．20＋3π B．24＋3π C．20＋4π D．24＋4π
8．已知平面向量a，b，满足a＝（1， ）,｜b｜＝3，
a⊥（a－2b），则｜a－b｜＝
A．2 B．3
C．4 D．6
9．若圆C： ＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是
A．2 B．3 C ．4 D．6
10．各项不为零的等差数列{ }中，2a3－ ＋2a11＝0，数列{ }是等比数列，且b7＝a7，
则b6b8＝
A．2 B．4 C．8 D．16
11．如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB＝ ，若在扇形AOB内
任取一点，则该点在圆C内的概率为
A． B．
C． D．
12．若函数f（x）满足f（x）＋1＝ ，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若在区间
（－1，1]上，g（x）＝f（x）－mx－2m有两个零点，则实数m的取值范围是
A．0＜m≤ B．0＜m＜ C． ＜m≤1 D． ＜m＜1
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题－第21题为必考题。每个试题考生都必须做答。第22题－第24题为选考题．考生根据要求做答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若x，y满足不等式组 则 的最小值为_____________．
14．若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则它的外接球的体积为____________．
15．已知以F为焦点的抛物线 ＝4x上的两点A，B满足 ＝2 ，则弦AB中点到准线的距离为_____________．
x －1 0 4 5
f（x） 1 2 2 1
16．已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，部分对应值如右
表，f（x）的导函数y＝ 的图象如图所示，
下列关于f（x）的命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的
最大值是4；
④当1＜a＜2时，函数y＝f（x）－a有4个零点；
⑤函数y＝f（x）－a的零点个数可能为0，1，2，3，4．
其中正确命题的序号是___________________（写出所有正确命题的序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，向量m＝（c， b），
n＝（cosC，sinB），且m∥n．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sin（A＋B），sin2A，sin（B－A）成等差数列，求边a的大小．
18．（本小题满分12分）
为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调
查，得到如下列联表（平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖）：
常喝 不常喝 合计
肥胖 2
不肥胖 18
合计 30
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为 ．
（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；
（Ⅱ）是否有99．5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由；
（Ⅲ）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少?参考数据：
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是直角梯形ABCD，
其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，侧面PAD是
边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA
的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱锥A－PBC的体积．
20．（本小题满分12分）
已知直线l：y＝ x－2 过椭圆C： （a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离
心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，1）的直线与椭圆C交于点A，B，求△AOB的面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝ －bx＋lnx（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a＝b＝1，求f（x）点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设a＜0，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设a＜0，且对任意的x＞0，f（x）≤f（2），试比较ln（－a）与－2b的大小．
请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ACED是圆内接四边形，AD、CE的延
长线交于点B，且AD＝DE，AB＝2AC．
（Ⅰ）求证：BE＝2AD；
（Ⅱ）当AC＝2，BC＝4时，求AD的长．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l经过点P（ ，1），倾斜角α＝ ，圆C的极坐标方程为 ＝ cos（θ－
）．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知a＋b＝1，对 ，b∈（0，＋∞）， ＋ ≥｜2x－1｜－｜x＋1｜恒成立，
（Ⅰ）求 ＋ 的最小值；
（Ⅱ）求x的取值范围。
商丘市2014～2015学年度第一次模拟考试
高三数学（文科）参考答案
一、选择题
1-4 DBBD; 5-8 DAAB; 9-12 CDCA.
二、填空题
(13) ； (14) ; (15) ; (16)②⑤.
三、解答题
(17)解析：(I)由 , 得 ，…………………1分
由正弦定理可得 ,…………………3分
， ………………………………4分
, .………………………6分
(II) 成等差数列，
,………………………7分
得 ,得 ，
∴ 或 ，得 或 .……………8分
①若 ， ,则 ;…………10分
②若 ，由 得 .……………12分
(18)解析：（I）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有 人， .……………1分
常喝 不常喝 合计
肥胖 6 2 8
不胖 4 18 22
合计 10 20 30
………3分
（II）由已知数据可求得： ………6分
因此有 的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．……………8分
（III）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有 AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种.……………9分
其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF， DE，DF.共8种.…………10分
故抽出一男一女的概率是 .…………12分
（19）解：(I)证明：如图，取AB的中点F，连接DF，EF. 在直角梯形ABCD中，CD∥AB，
且AB＝4，CD＝2， ∴BF∥CD且BF=CD. ∴四边形BCDF为平行四边形．
∴DF∥BC. ……………………2分
在△PAB中，PE＝EA，AF＝FB，
∴EF∥PB.…………3分
又因为DF∩EF＝F，PB∩BC＝B，
∴平面DEF∥平面PBC.……………4分
因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC.
……………6分
(II)取AD的中点O，连接PO.在△PAD中，PA＝PD＝AD＝2，
∴PO⊥AD，PO＝3.…………………7分
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PO⊥平面ABCD.…………………8分
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，AD＝2，AB⊥AD，……9分
∴S△ABC＝12×AB×AD＝12×4×2＝4.…………10分
故三棱锥 的体积 ＝13×S△ABC×PO＝13×4×3＝433.……12分
(20)（Ⅰ）直线 的方程为 ，∵ ，∴椭圆的焦点为直线 与 轴的交点
∴椭圆的焦点为 ,∴ ，………………2分
又∵ ,∴ ，∴ ,…………3分
∴椭圆方程为 …………………4分
(Ⅱ)直线 的斜率显然存在，设其为 ，直线 方程为 ，……5分
设 ，由 ，得 ，
显然 ，……………8分
…………10分
令 则 , ,
，即 时， 的最大值为 .…………12分
(21)解析：（I） 时， ， ，…………1分
∴ ， ， ……………………2分
故 点 处的切线方程是 ． …………3分
（II）由 ，得 ．………4分
当 时， ，得 ，由 ,
得 ． 显然， ，
当 时， ，函数 单调递增;当 时， ，函数 单调递减，
∴ 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．………8分
（III）由题意知函数 在 处取得最大值．由（II）知， 是 的唯一的极大值点，
故 ，整理得 .……………9分
于是
令 ，则 ．令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．……………10分
因此对任意 ， ≤ ，又 ，
故 ，即 ，即 ，
∴ ．……………………12分
（22）解(Ⅰ) 因为四边形 为圆的内接四边形,所以 …………1分
又 所以 ，则 . …………3分
而 ，所以 .……………………………4分
又 ，从而 ………………………5分
(Ⅱ)由条件得 . ………………………6分
设 ，根据割线定理得 ，即 所以 ，
解得 ,即 . ………………10分
（23）解：（I）直线 的参数方程为 ，即 （ 为参数）…2分
由 得 ，所以 .……4分
得 ，即 . …………5分
（II）把 代入 ，得 ， ………8分
. ………………10分
（24）解：∵ ， 且
∴ ，
当且仅当 时等号成立，又 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 ，……………5分
因为对 ，使 恒成立，
所以 ， …………… 7分
当 时， ， ∴ ，…………8分
当 时， ， ∴ ， ……………9分
当 时， ， ∴ ，∴ …… 10分
点击下载：河南省商丘市2015届高三第一次模拟考试数学（文）试题
