宝鸡市九校2015届高三3月联合检测
数学（理）试题
命题人：宝鸡石油中学 张新会 审题人：宝鸡石油中学 齐宗锁 张亚会
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．其中第Ⅱ卷第22、23、24题为三选一，其它题为必考题．考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合 , .
若 ,则实数 的值是（ ☆ ）
A. B. 或
C. D. 或 或
2．如图,在复平面内,复数 , 对应的向量分别是 , ,则复数 对应的点位于（ ☆ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3．若向量 , , ,则下列说法中错误的是（ ☆ ）
A. B. 向量 与向量 的夹角为 C. ∥
D.对同一平面内的任意向量 ,都存在一对实数 ,使得
4．在△ABC中,已知 , ,△ABC的面积为 ,则 =（ ☆ ）
A. B. C. D.
5．已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（ ☆ ）
A. B. C. D.
6．一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以 平面为投影面，则得到主视图可以为（ ☆ ）
A. B. C. D.
7．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出
的值是 ,则（ ☆ ）
A. B.
C. D.
8．函数 的导函数 的图像如图所示，那么 的图像最有可能的是（ ☆ ）
9．已知x,y满足 ，则 的最小值为（ ☆ ）
A. B. C. D.
10．已知命题 :存在 ，曲线 为双曲线；命题 : 的解集是 ．给出下列结论中正确的有（ ☆ ）
①命题“ 且 ”是真命题；
②命题“ 且( )”是真命题；
③命题“( )或 ”为真命题；
④命题“( )或( )”是真命题．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11．如右图二面角 的大小为 ，平面 上的曲线 在平面 上的正射影为曲线 ， 在直角坐标系 下的方程 ，则曲线 的离心率（ ☆ ）
A. B. C. D.
12．设函数 ，其中 表示不超过 的最大整数,如 ， ， ，若直线 与函数 的图象恰有两个不同的交点,则 的取值范围是 （ ☆ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设 ,则 ☆ ．
14．函数 的最小值为 ☆ ．
15．已知函数 是定义在 上的奇函数,在 上单调递减,且 ,若 ，则 的取值范围为 ☆ ．
16．椭圆 绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 ☆ ．
三、解答题：（本大题5小题，每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知 是一个单调递增的等差数列，且满足 , ，数列 的前 项和为 ，数列 满足 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式；(Ⅱ)求数列 的前 项和.
18．某市为了了解“陕西分类招生考试”宣传情况，从 四所中学的学生当中随机抽取50名学生参加问卷调查，已知 四所中学各抽取的学生人数分别为15,20,10,5.
(Ⅰ)从参加问卷调查的 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概率；
(Ⅱ)在参加问卷调查的 名学生中,从来自 两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用 表示抽得 中学的学生人数,求 的分布列及期望值.
19．在梯形 中， ， ， ， ，如图把 沿 翻折，使得平面 平面 .
（Ⅰ）求证: 平面 ；
（Ⅱ）若点 为线段 中点,求点 到平面 的距离．
20．设 到定点 的距离和它到直线 距离的比是 ．
（Ⅰ）求点 的轨迹方程；
（Ⅱ） 为坐标原点,斜率为 的直线过 点,且与点 的轨迹交于点 , ,若 ,求△ 的面积．
21．设函数 ,其中 为自然对数的底数.
(Ⅰ)已知 ,求证: ；
(Ⅱ)函数 是 的导函数，求函数 在区间 上的最小值．
请考生从第22、23、24题中任选一题做答．多答按所答的首题进行评分．
22．（本题满分10分）
选修4—1:几何证明选讲.
已知圆内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线．
（Ⅰ）求∠BAE 的度数；
（Ⅱ）求证:
23．（本题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程.
坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程 为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求圆C的极坐标方程；
(Ⅱ)射线 与圆C的交点为O、P两点，求P点的极坐标.
24．（本题满分10分）选修4—5: 不等式选讲.
(Ⅰ)设函数 .证明： ；
(Ⅱ)若实数 满足 ,求证:
命题人：宝鸡石油中学 张新会 审题人：宝鸡石油中学 齐宗锁 张亚会
一、选择题（每题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D D C C A A A B B C D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13． 30 14． 15．
16．（课本P95第6题）旋转体的体积为
三、解答题：本大题5小题，每题12分，共70分.
17．解:(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,则依题知 .
由 ,又可得 .
由 ,得 ,可得 .
所以 .可得 ……………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
当 时,
当 时, 满足上式，所以
所以 ，即 ,
因为 ，
所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列.
所以前 项和 ………………………12分
18．解: (Ⅰ)从 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 种， 来自同一所中学的取法共有 ∴从 名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为 . (Ⅱ)因为 名学生中,来自 两所中学的学生人数分别为 . 依题意得, 的可能取值为 , , ,
∴ 的分布列为:
的期望值为 ………………………12分
19．解：（Ⅰ）证明:因为 , ， , ,
所以 ,
,
,所以 .
因为平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 平面 ．………… 6分
(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知 .
以点 为原点， 所在的直线为 轴,
所在直线为 轴，
如图建立空间直角坐标系 .
则 , , , , ．
所以 , , ．
设平面 的法向量为 ,则 且 ,
所以 令 ,得平面 的一个法向量为
所以点 到平面 的距离为 ．………………12分
20．解：（Ⅰ）由已知得
化简得点 的轨迹方程为 ．………………………6分
（Ⅱ）设直线 的方程为 .联立方程组 消去 并整理得 故
又 所以 ,可得 ,所以
由
原点 到直线 的距离
所以 ……………………………… 12分
21．(Ⅰ)证明：
………………………6分 (Ⅱ) ，
，
（1）当 时,∵ ， ，∴ 恒成立，
即 , 在 上单调递增,
所以 .
（2）当 时,∵ ， ，∴ 恒成立，
即 , 在 上单调递减,
所以 .
（3）当 时， 得
在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ………………………12分
23．解：(Ⅰ)圆C的普通方程是 ，又
所以圆C的极坐标方程是 ………………………5分
(Ⅱ)因为射线 的普通方程为
联立方程组 消去 并整理得
解得 或 ，所以P点的坐标为
所以P点的极坐标为 ………………………10分
解法2：把 代入 得
所以P点的极坐标为 ………………………10分
24．证明:(Ⅰ)由 ，
有
所以 ………………………5分
(Ⅱ) ,由柯西不等式得:
(当且仅当 即 时取“ ”号) 整理得: ,即 ……………………10分
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