宝鸡市九校2015届高三3月联合检测
数学（文）试题
命题人：宝鸡石油中学 张新会 东风路中学 周粉粉 审题人：宝鸡石油中学 齐宗锁 东风路中学 周宗让
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．其中第Ⅱ卷第22、23、24题为三选一，其它题为必考题．考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合 , .
若 ,则实数 的值是（ ☆）
A. B. 或
C. D. 或 或
2．如图,在复平面内,复数 , 对应的向量分别是 , ,则复数 对应的点位于（ ☆ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3．若向量 , , ,则下列说法中错误的是（ ☆ ）
A. B. 向量 与向量 的夹角为 C. ∥
D.对同一平面内的任意向量 ,都存在一对实数 ,使得
4．若关于 的不等式组 ，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数 的值为（ ☆ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5．将 向右平移 个单位，得到函数 的图象，则 （ ☆ ）
A. B. C. D.
6．在△ABC中,已知 , ， ，则AC的长为（ ☆ ）
A. B. C. 或 D.
7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以 平面为投影面，则得到主视图可以为（ ☆ ）
A. B. C. D.
8．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出
的值是 ,则（ ☆ ）
A. B.
C. D.
9．函数 的导函数 的图像如图所示，那么 的图像最有可能的是（ ☆ ）
10．已知命题 :存在 ，曲线 为双曲线；命题 : 的解集是 ．给出下列结论中正确的有（ ☆ ）
①命题“ 且 ”是真命题； ②命题“ 且( )”是真命题；
③命题“( )或 ”为真命题； ④命题“( )或( )”是真命题．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，点 在双曲线上，且满足 ，则△ 的面积为（ ☆ ）
A. B. C. D.
12．设函数 ，其中 表示不超过 的最大整数,如 ， ， ，若直线 与函数 的图象恰有两个不同的交点,则 的取值范围是 （ ☆ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知函数 ，则 ☆ ．
14．已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 ☆ ．
15．函数 的最小值为 ☆ ．
16．已知函数 是定义在 上的奇函数，在 上单调递减，且 ,若 ，则 的取值范围为 ☆ ．
三、解答题：（本大题5小题，每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知 是一个单调递增的等差数列，且满足 , ，数列 的前 项和为 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式；(Ⅱ)证明数列 是等比数列.
18．已知某校 四个社团的学生人数分别为10,5,20,15.现为了了解社团活动开展情况，用分层抽样的方法从 四个社团的学生当中随机抽取10名学生参加问卷调查.
(Ⅰ)从 四个社团中各抽取多少人？
(Ⅱ)在社团 所抽取的学生总数中，任取2个,求 社团中各有1名学生的概率.
19．在梯形 中， ， ， ， ，如图把 沿 翻折，使得平面 平面 .
（Ⅰ）求证: 平面 ；
（Ⅱ）若点 为线段 中点,求点 到平面 的距离．
20．设 到定点 的距离和它到直线 距离的比是 ．
（Ⅰ）求点 的轨迹方程；
（Ⅱ） 为坐标原点, 过 点且斜率为 的直线,与点 的轨迹交于点 , ,求△ 的面积．
21．设函数 ,其中 为自然对数的底数.
(Ⅰ) 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(Ⅱ)函数 是 的导函数，求函数 在区间 上的最小值．
请考生从第22、23、24题中任选一题做答．多答按所答的首题进行评分．
22．（本题满分10分）
选修4—1:几何证明选讲.
已知圆内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线．
（Ⅰ）求∠BAE 的度数；
（Ⅱ）求证:
24．（本题满分10分）选修4—5: 不等式选讲.
(Ⅰ)设函数 .证明： ；
(Ⅱ)若实数 满足 ,求证:
命题人：宝鸡石油中学 张新会 东风路中学 周粉粉 审题人：宝鸡石油中学 齐宗锁 东风路中学 周宗让
一、选择题（每题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D D B C C A A A B C D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13． 0 14． 15． 16．
三、解答题：本大题5小题，每题12分，共70分.
17． (Ⅰ) 解:设等差数列 的公差为 ,则依题知 .
由 ,又可得 .
由 ,得 ,可得 .
所以 .可得 ……………………6分
(Ⅱ)证明：由已知 ，得
时， ，
所以 ，
又 ，解得
所以数列 是首项为3,公比为3的等比数列. ……………………12分
18．解: (Ⅰ) 从 四个社团中分别抽取
， ，
，
故从 四个社团中分别抽取学生人数为2,1,4,3.
(Ⅱ)设在 社团中抽取的 学生分别为 ，
在 社团中抽取的3学生分别为 ，
从社团 所抽取的5名学生中，任取2个,共有
种情况，
其中符合 社团中各有1名学生的情况共有 种；
故 社团中各有1名学生的概率 ………………………12分
19．解：（Ⅰ）证明:因为 , ， , ,
所以 ,
,
,所以 .
因为平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 平面 ．………… 6分
(Ⅱ)解：（略）利用等积法求解
得点 到平面 的距离为 ． ………………12分
20．解：（Ⅰ）由已知得
化简得点 的轨迹方程为 ．………………………6分
（Ⅱ）设直线 的方程为 .
联立方程组 ，消去 并整理得 ，
所以
由
原点 到直线 的距离
所以 ……………………………… 12分
21．(Ⅰ) 时，
∵ ，
∴ ，
∴曲线 在点 处的切线方程为
即 ………………………6分 (Ⅱ) ，
，
（1）当 时,∵ ， ，∴ 恒成立，
即 , 在 上单调递增,
所以 .
（2）当 时,∵ ， ，∴ 恒成立，
即 , 在 上单调递减,
所以 .
（3）当 时， 得
在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ………………………12分
请考生从第22、23、24题中任选一题做答．多答按所答的首题进行评分．
22．证明:（Ⅰ）在△EAB与△ECA中
因为AE为圆O的切线，所以∠EBA =∠EAC
又∠E公用，所以∠EAB =∠ECA
因为△ACD为等边三角形，所以 ………5分
（Ⅱ）因为AE为圆O的切线,所以∠ABD=∠CAE
因为△ACD为等边三角形,所以∠ADC =∠ACD,
所以∠ADB=∠ECA,所以△ABD∽△EAC
所以 ,即
因为△ACD为等边三角形,所以AD=AC=CD,
所以 …………………………………10分
23．解：(Ⅰ)圆C的普通方程是 ，又
所以圆C的极坐标方程是 ………………………5分
(Ⅱ)因为射线 的普通方程为
联立方程组 消去 并整理得
解得 或 ，所以P点的坐标为
所以P点的极坐标为 ………………………10分
解法2：把 代入 得
所以P点的极坐标为 ………………………10分
24．证明:
(Ⅰ)由 ，
有
所以 ………………………5分
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