金山中学、广雅中学、佛山一中2015届高三下联考
数学(文科) 试题
（本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．）
参考公式：棱锥的体积公式： ．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A={x|lg(x-2)≥0},B={x|x≥2},全集U=R,则(CUA)∩B=（ ）
A. {x|-1＜x≤3} B. C. {x|x=3} D. {x|2≤x﹤3}
2. 复数 在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知数列 满足 ，则 （ ）
A.53 B.54 C.55 D.109
4．已知一棱锥的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图都是
等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．48
5．对于函数 若 ，则函数 在区间 内 （ ）
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点
6．曲线 在点 处的切线与坐标轴
所围三角形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
7. 下列程序框图(图2)的输出结果为 （ ）
A. B.
C. D.
8. 设 ，则关于 的方程 的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9. 点 到图形 上每一个点的距离的最小值称为点 到图形 的距离.已知点 ,圆 : ,那么平面内到圆 的距离与到点 的距离之差为 的点的轨迹是（ ）
A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 射线
10．定义两种运算： ， ，则函数 为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．奇函数且为偶函数 D．非奇函数且非偶函数
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11－13题）
11．（a→+b→）与a→垂直，且b→=2a→，则a→与b→的夹角为
12. 若等比数列{an}的前项n和为Sn，且S4S2 = 5，则S8S4 =
13．已知函数 ．
①若 ，使 成立，则实数 的取值范围为 ；
②若 ， 使得 ，则实数 的取值范围为 ．
（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点 引圆 的一条切线，则切线长为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图3， 是圆O的切线，切点为 ， 交圆 于 两点，且 则 的长为 .
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
如图4,在直角坐标系 中,角 的顶点是原点,始边与 轴正半
轴重合,终边交单位圆于点 ,且 .将角 的终边按
逆时针方向旋转 ,交单位圆于点 .记 .
(Ⅰ)若 ,求 ;
(Ⅱ)分别过 作 轴的垂线,垂足依次为 .记△ 的
面积为 ,△ 的面积为 .若 ,求角 的值.
17.（本小题满分12分）
从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高．据测量，被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如图5：
（1）试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数为多少；
（2）在样本中，若学校决定身高在185cm以上的学生中随机抽取2名学生接受某军校考官
进行面试，求：身高在190cm以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率．
18．（本小题满分14分）
如图6，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，且
∠ACB ＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝ ，点P、
M、N分别为BC1、CC1、AB1的中点．
（1）求证：PN//平面ABC；
（2）求证：A1M⊥平面AB1C1；
（3）求点M到平面AA1B1的距离．
19（本题满分14分）已知数列 满足 且 。
（1）求 的值；
（2）是否存在一个实数 ，使得 且 为等差数列？若存在，求出 的值；如不存在，请说明理由；
(3) 求数列 的前n项和 .
20．（本小题满分14分）如图7所示，O为坐标原点，双曲线C1：x2a21－y2b21＝1(a1＞0，b1＞0)和
椭圆C2：y2a22＋x2b22＝1(a2＞b2＞0)均过点P233，1，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．
(1) 求C1，C2的方程．
(2) 是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2
只有一个公共点，且|OA→＋OB→|＝|AB| ？证明你的结论.
21. (本小题满分14分)
己知函数
(1) 若 ，求函数 的单调递减区间;
(2) 若关于x的不等式 恒成立，求整数 a的最小值:
(3 若 ，正实数 满足 ，证明:
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数学(文科) 参考答案及评分标准
一、选择题： D A C B C A C B D A
二、填空题： 11．120°， 12．17 ，13．① ； ② ． 14． ， 15.
16.解(Ⅰ)解:由三角函数定义,得 , ………………3分
因为 , ,
所以 …………………4分
所以 …………………7分
(Ⅱ)解:依题意得 , .
所以 , …………………8分
……………9分
依题意得 ,
整理得 ……………10分
因为 , 所以 ,
所以 , 即 …………12分
17．（1）由频率分布直方图可知，样本中身高介于185cm~190cm的频率为：
……………3分
∴800名学生中身高在180cm以上的人数为： 人．6分
（2）样本中，身高介于185cm~190cm的学生人数为 人，身高介于190cm~195cm的学生人数为 人． ………………………8分
∴“身高在185cm以上的学生5人中随机抽取2名学生”的基本事件数共10种，…………10分
其中抽取的2名学生中“身高在190cm以上的学生中至少有一名学生”的基本事件数有7种．
∴ 所求事件的概率P=0.7 ……………………………………12分
18. （1）证明：连结CB1，∵P是BC1的中点 ，∴CB1过点P， ………………………………1分
∵N为AB1的中点，∴PN//AC, ---------------------------2分
∵ 面 ， 面 ,
∴ PN//平面ABC. --------------------------------------4分
（2）证法一：连结AC1，在直角ΔABC中，
∵BC＝1，∠BAC＝30°，
∴ AC＝A1C1＝ -----------------------------------5分
∵ = ，∴ ------------------------------------------------7分
∴ ，
∴AC1⊥A1M. -------------------------------------------------------------------8分
∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且
∴B1C1⊥平面AA1CC1， -----------------------------------------------------------9分
∴B1C1⊥A1M，又 ，故A1M⊥平面A B1C1，---------11分
【证法二：连结AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，
∴ AC＝A1C1＝ -------------------------------------------------------------5分
设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β
∵ , ----------------------------------7分
∴α+β＝90° 即AC1⊥A1M. ----------------------------------------------------8分
∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且
∴B1C1⊥平面AA1CC1， ---------------------------------------------------------9分
∴B1C1⊥A1M，又
故A1M⊥面A B1C1， ------------------------------------------------------------11分
（3）设点M到平面AA1B1的距离为h，
由（2）知B1C1⊥平面AA1CC1
∵ ----------------------------------12分
∴
∴ .
即点M到平面AA1B1的距离为 ． ----------------------------------------------14分
19.解析：(1)当n=2时， ，当n=3时，
， . …………………… 2分
（2）当 时，
. ……………… 4分
要使 为等差数列，则必须使1+2t=0, , ……………… 5分
即存在 ，使 为等差数列. …………………… 6分
(3) 因为当t= -1/2时， 为等差数列，且 ，
所以 …………………… 8分
所以 …………………… 9分
于是，
…………………… 10分
令 ① …………………… 11分
② …………………… 12分
①—②得
化简得 …………………… 13分
∴ …………………… 14分
20．解： (1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2，2a1＝2，
从而a1＝1，c2＝1. -----------2分
因为点P233，1在双曲线x2－y2b21＝1上，所以2332－1b21＝1，故b21＝3.
由椭圆的定义知
2a2＝2332＋（1－1）2＋2332＋（1＋1）2＝23.- --------4分
于是a2＝3，b22＝a22－c22＝2.故C1，C2的方程分别为x2－y23＝1，y23＋x22＝1. ----------6分
(2)不存在符合题设条件的直线．
(i)若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x＝2或x＝－2.
当x＝2时，易知A(2，3)，B(2，－3)，所以
|OA→＋OB→|＝22，|AB→|＝23.
此时，|OA→＋OB→|≠|AB→|.
当 x＝－2时，同理可知，|OA→＋OB→|≠|AB→|. ------------------8分
(ii)若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m，
由y＝kx＋m，x2－y23＝1得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0.- -------- ------------------9分
当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1＋x2＝2km3－k2，x1x2＝m2＋3k2－3.
于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝3k2－3m2k2－3.- ------- ----------------10分
由y＝kx＋m，y23＋x22＝1得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0.
化简，得2k2＝m2－3.因此
OA→•OB→＝x1x2＋y1y2＝m2＋3k2－3＋3k2－3m2k2－3＝－k2－3k2－3≠0， ---- -----------------12分
于是OA→2＋OB→2＋2OA→•OB→≠OA→2＋OB→2－2OA→•OB→，即|OA→＋OB→|2≠|OA→－OB→|2.
故|OA→＋OB→|≠|AB→|.
综合(i)，(ii)可知，不存在符合题设条件的直线 ． ------------- ------------- -------------14分
21．（1）因为 ，所以 ， ………………………………………1分
此时 ，
……………………………………… 2分
由 ，得 ，
又 ，所以 ．
所以 的单调减区间为 ． ………………………………………… 3分
（2）方法一：令 ，
所以 ．……………………………………4分
当 时，因为 ，所以 ．
所以 在 上是递增函数，
又因为 ，
所以关于 的不等式 不能恒成立． ……………………………………5分
当 时， ，
令 ，得 ．
所以当 时， ；当 时， ，
因此函数 在 是增函数，在 是减函数．
故函数 的最大值为 ．………7分
令 ，
因为 ， ，又因为 在 是减函数．
所以当 时， ．
所以整数 的最小值为2． …………………………………………………………9分
方法二：（2）由 恒成立，得 在 上恒成立，
问题等价于 在 上恒成立．
令 ，只要 ． ………………………………………… 5分
因为 ，令 ，得 ．
设 ，因为 ，所以 在 上单调递减，
不妨设 的根为 ．
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上是增函数；在 上是减函数．
所以 ． ………………………7分
因为 ，
所以 ，此时 ，即 ．
所以 ，即整数 的最小值为2． ……………………………………………… 9分
（3）当 时，
由 ，即
从而 ………………………………… 11分
令 ，则由 得，
可知， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
所以 ， ………………………………………………………13分
所以 ，
因此 成立． ………………………………………………………… 14分
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