注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2．考生作答时，选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。
4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。
怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷
2015年高三第一次模考 文科数学
命题人：湖天中学 周寒辉 审题人：丁立红、龚开玖、包小青、张理科
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.
1. 设集合 ， 是 的倍数 ，则 为
A.{2,4} B.{1,2,4} C.{2,4,8} D.{1,2,8}
2．下列命题中的假命题是
A. B.
C. D.
3. 在复平面内，复数 对应的点位于
A. 第四象限 B. 第三象限
C. 第二象限 D. 第一象限
4. 已知回归直线 的 估计值为 ，样本点的中心
为（4，5），则回归直线方程为
A. B.
C. D.
5. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6．已知在各项均为正数的等比数列 中， ,
，则 的值为
A. B. 7 C. 6 D.
7．已知 满足约束条件 ，若目标函数 取得最大值的最优解有无数多
个，则实数 的值为
A． B．2 C． 或2 D．
8．如图所示，在 中， 为 的中点， 在线段 上，
设 ， ， ，则 的最小值为
A. B. 8
C. 6 D.
9．点 是双曲线 ： 与圆 ： 的一个交点，且 ，其中 、 分别为 的左右焦点，则 的离心率为
A. B. C. D.
10．函数 是定义在 上的偶函数，且满足 ，当 时， ，若方程 恰有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是
A.（ ，1） B.[0，2] C.（1，2） D.[1，＋8）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.
11.在极坐标系下，直线 与圆 相交的弦长为 .
12．已知 ，则 =_______．
13.在面积为 的 内任投一点 ，则 的
面积大于 的概率是__________．
14.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________．
15.己知函数 的图象在点 处的切线
与直线 平行，若数列 的前 项和为 ，
则 的值为_______.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分)
已知 分别为 三个内角 的对边，
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ， 的面积为 ，求 .
17．(本小题满分12分)
某校高三年级文科学生500名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生（该班共50名同学），并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表：
（Ⅰ）写出 、 的值；
（Ⅱ）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；
（Ⅲ）该班为提高数学整体成绩，决定成立“二帮一”小组，
即从成绩在[135，150]中选两位同学，来帮助成绩在[45，60）
中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分，乙同学的成绩为
145分，求甲乙在同一小组的概率．
18．(本小题满分12分)
如图１,直角梯形 中， ， ， ， 分别是 上的两点，且 ， 为 中点,将四边形 沿 折起到（图2）所示的位置，使得 ，连接 得（图2）所示六面体．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线CD与平面CFG所
成的角的正弦值．
19．(本小题满分13分)
已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，数列 的前 项和为 ， ，点 在直线 上.
（Ⅰ）求数列 ， 的通项；
（Ⅱ）若数列 的前 项和为 ，不等式 对于 恒成立，求实数 的最大值．
20．(本小题满分13分)
已知平面内一动点 与两定点 的距离之和等于 .
（Ⅰ）求动点 的轨迹方程 ；
（Ⅱ）已知定点 ，若直线 与曲线 相交于 、 两点，试判断是否存在 值，使以 为直径的圆过定点 ？若存在求出这个 值，若不存在说明理由.
21. (本小题满分13分)
已知函数
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）当 时，证明：对任意的 ，有 .
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2015年高三一模 文科数学参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A B B Ａ C B A A
二、填空题：
11、 ； 12、1； 13、 ； 14、 ； 15、 .
16解：（Ⅰ）由 及正弦定理得
………………… 2分
由于 ，所以 …………………… 4分
又 ，故 ……………………………… 6分
（Ⅱ） 的面积 ，故 …………………8分
而 ，故 ………………10分
解得 ……………………………… 12分
17解：（Ⅰ）6， 0.04 …………………………… 2分
（Ⅱ）成绩在120分以上的有6＋4＝10人…………………… 3分
估计该校文科生数学成绩在120分以上的学生有： 人………… 6分（Ⅲ）[45，60）内有2人，记为甲、A．[135，150]内有4人，记为乙、B、C、D．
“二帮一”小组有6种分组办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）、
（甲BC，A乙D）、（甲BD，A乙C）、（甲CD，A乙B）………………………9分
其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、
（甲乙D，ABC）．所以甲、乙分到同一组的概率为 ………………12分
18证明：（Ⅰ） 分别是 上的两点，且
…………………2分
……………………… 6分
（Ⅱ）法一：取CF中点H ，连接EH，GH.
CH=DF CH∥DF
故有CD∥HE 故HE与平面CFG所成的角即为CD与平面CFG所成的角
所以 ………………………9分
所以
直线CD与平面CFG所成的角的正弦值为 ……………… 12分
法二：设D到平面CGF的距离为h,所求的角为 .
利用等体积法求D到平面CGF的距离
由
因AB∥EF，所以G 到平面CFED的距离为BF.
………………………… 9分
解得 ，
,直线CD与平面CFG所成的角的正弦值为 .
19解：（Ⅰ）由 得 ，
又
解得：q = 2或q = -3（舍）故 …………3分
因点 在直线 上，所以 ，
故 是以 为首项， 为公差的等差数列，则 ，
则 …………………5分
时， ，
满足该式，故 ……………… 6分
（Ⅱ） ，则
两式相减得
所以 ………………10分
不等式 对于 恒成立 即
则 对于 恒成立
那么m的最大值即为 的最小值………………1１分
由 知
当n=1或2时 的最小值为3，
所以实数m的最大值为3 ………………13分
20解：（Ⅰ）由椭圆定义知P的轨迹为：以 为焦点的椭圆 …………… 2分
易知 ， …………… ３分
…………… ４分
∴ 动点P的轨迹方程为 ： ………………………5分
（Ⅱ）假设存在这样的 值，由 得
∴ ①……………… 6分
设 ， ，则 ②…………… ８分
而 ………………９分
要使以 为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当 时，则 ，
即 ∴ ③
将②式代入③整理得：
解得 经验证 使①成立
综上可知，存在 ，使得以 为直径的圆过点E ……………… 13分
21解：（Ⅰ）由题知 ……… １分
（1）当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增……… ３分
（2）当 时，由 得 ， 由 得
即 在 上递增； 在上 上递减……… ５分
综上所述：当 时， 在 上递增；
当 时， 在 上递增，在 上递减……… 6分
（Ⅱ）当 时，要证 在 上恒成立
只需证 在 上恒成立
令 ，因为
易得 在 上递增，在 上递减，故 …………8分
由 得
当 时， ； 当 时， .
所以 在 上递减，在 上递增.
所以 ………………………… 10分
又 ， ，即
所以 在 上恒成立
故当 时，对任意的 ， 恒成立………13分
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