金丽衢十二校2014学年第二次联合考试
数学试卷（理科）
本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。考试时间为120分钟，试卷总分为150分。请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集 ，集合 则集合 =
A. B. C. D.
2．已知等差数列 满足： ，则数列 的公差为
A.1 B.2 C.3 D.4
３. 若 ，则 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.设 ，那么
A. B. C. D.
5. 已知点 , , ,若线段 和 有相同的中垂线，
则点 的坐标是
A. B. C. D.
6. 已知角 均为锐角，且
A.3 B. C. D.
7. 如图，已知双曲线 : 的右顶点为 为坐标原点，以 为圆心的圆与双曲线 的某渐近线交于两点 .若 且 ，则双曲线 的离心率为
A. B. C. D.
8. 已知函数 为 上的奇函数，当 时，
( ),若对任意实数 ,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分。
9. ▲ ，值域为 ▲ ，不等式 的解集为 ▲ ．
10. 一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ▲ ，表面积为 ▲ ．
11.如果实数x,y满足： ,则 的取值
范围是 ▲ ， 的最大值为 ▲ ．
12. 已知圆 ， 内接于此圆， 点的
坐标 ．若 的重心 ,则线段 的中点
坐标为 ▲ ，直线 的方程为 ▲ ．
13. 已知平面向量 则 的取值
范围是 ▲ ．
14. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形,
点 为 的中点，则面 将四棱锥 所
分成的上下两部分的体积的比值为 ▲ ．
15.已知数列 满足 ， ，若对任意的自然数 ，恒有 ，则 的取值范围为 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本题满分15分）在△ABC中，内角 所对的边分别是 ，且满足：
又 .
（Ⅰ）求角A的大小 ；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积S．
17.(本题满分15分) 如右图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，2AE＝BD＝2．
（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC;
（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值．
18.(本题满分15分)已知动圆 过定点 ，且与直线 相切，椭圆 的对称轴为坐标轴， 点为坐标原点， 是其一个焦点，又点 在椭圆 上.
（Ⅰ）求动圆圆心 的轨迹 的标准方程和椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）若过 的动直线 交椭圆 于 点，交轨迹 于 两点，设 为 的面积， 为 的面积，令 ,试求 的最小值.
19.（本题满分15分）已知函数 , ，且 为偶函数．设集合 ．
（Ⅰ）若 ，记 在 上的最大值与最小值分别为 ,求 ;
（Ⅱ）若对任意的实数 ，总存在 ，使得 对 恒成立，试求 的最小值.
20. （本题满分１４分）在单调递增数列 中， ， ，且 成等差数列， 成等比数列， ．
（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列 为等差数列；
（ⅱ）求数列 的通项公式.
（Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，证明： ， ．
金丽衢十二校2014学年第二次联合考试
数学参考答案及评分标准（理科）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A C D A B C
二、 填空题：本大题共7小题，前4小题每题６分，后3小题每题4分，共36分。
9、 10、
11、[ ] 12、
13、 14、 15、
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
16、解：（1）∵
∴ ,又∵
∴ ——————————————7分
（2）∵
∴ ，
∴ 即 ——————————————12分
∴ ,
又∵
∴ ——————————————15分
17（ⅰ）证明：取 的中点 ,连接
又因为
为平行四边形，
. ————————————６分
（ⅱ）连接 ，过 在面 内作 的垂线，垂足为
连接 ．
因为 ，
又
所以易证得 为二面角D－EC－B的平面角
在 中， 所以易求得
在直角 中， , ,
所以二面角 的平面角的余弦值为 ——————————１５分
方法二：
取BD的中点为G，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图空间直角坐标系，则 , , ,
取平面DEC的一个法向量
又 ，
由此得平面BCE的一个法向量
则 ，
所以二面角 的平面角的余弦值为
18、解：（1）依题意，由抛物线的定义易得动点Q的轨迹M的标准方程为：
——————————————3分
依题意可设椭圆N的标准方程为
显然有
∴椭圆N的标准方程为 ——————————————５分
（2）显然直线m的斜率存在，不妨设直线m的直线方程为：
①
联立椭圆N的标准方程 有
——————————————７分
设 则有
又A（0,2）到直线m的距离
∴ ； ——————————————1０分
再将①式联立抛物线方程 有
，同理易得
∴ ——————————————13分
∴
∴当 ——————————————15分
19、解：（1） 为偶函数，
所以 ．———————————3分
在区间 上，
———————————6分
（2）设
所以 的最大值为 依题意原命题等价于
在 上，总存在两个点
即只需满足在 上 ———————8分
因为对任意的 都成立，所以当 也成立，由（１）知 ———————10分
，下面证明在 上总存在两点 使得
成立.
综上所述， . ———————————１５分
20.解 （Ⅰ）
（ⅰ）因为数列 为单调递增数列， ，所以 （ ）.
由题意得 ， ，于是 ，化简得 ，所以数列 为等差数列.——————４分
（ⅱ）又 ， ，所以数列 的首项为 ，公差为 ，所以 ，从而 .
结合 可得 .
因此，当 为偶数时 ，当 为奇数时 .
——————————８分
（2）所以数列 的通项公式为
.
因为 ，所以
，
，
所以 ， ． ——————————１４分
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