山东烟台2015高考诊断性测试数学文
一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）
1. 设 是虚数单位， ，若 是一个纯虚数，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合 ， ，则下列结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 ， ， . 若 为实数且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 若条件 ，条件 ，且 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为 ，则该几何体体积为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知点 的坐标满足 ， 点的坐标为 ，点 为坐标原点，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7. 将函数 （ ）的图象分别向左. 向右各平移 个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 右图是一容量为 的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知 是直线 （ ）上一动点， 是圆 的一条切线， 是切点，若线段 长度最小值为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知 ，不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）
11. 函数 的定义域为 .
12. 某程序框图如图所示，现依次输入如下四个函数：
① ；② ；③ ；④ ，则可以输出的函数的序号是 .
13. 已知曲线 在 处的切线方程为 ，则实数 的值为 .
14. 已知抛物线 的焦点 与双曲线 的右焦点重合，抛物线的准线与 轴的交点为 ，点 在抛物线上，且 ，则 的面积为 .
15. 关于方程 ，给出下列四个命题：①该方程没有小于 的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在 内有且只有一个实数根；④若 是方程的实数根，则 ，其中所有正确命题的序号是 .
三. 解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）
16. （本小题满分12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从 年开始，将对二氧化碳排放量超过 的轻型汽车进行惩罚性征税. 检测单位对甲. 乙两品牌轻型汽车各抽取 辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位： ）.
经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 .
求表中 的值，并比较甲. 乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性；
从被检测的 辆甲品牌轻型汽车中任取 辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过 的概率是多少？
17. （本小题满分12分）已知函数 ，其中 ， ， .
求函数 的单调递减区间；
在 中，角 . . 所对的边分别为 . . ， ， ，且向量 与 共线，求边长 和 的值.
18. （本小题满分12分）如图， 是正方形， 平面 .
求证： 平面 ；
若 ， ，点 在线段 上，且 ，求证： 平面 .
19. （本小题满分12分）已知数列 的前 项和为 ， . 满足 （ 为常数， 且 ）.
求数列 的通项公式；
设 ，当 时，求数列 的前 项和 .
20. （本小题满分13分）已知函数 ， （ ）.
若 的图象与 的图象所在两条曲线的一个公共点在 轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求 和 的值；
若 ， ，试比较 与 的大小，并说明理由.
21. （本小题满分12分）已知椭圆 （ ）的离心率为 ，右焦点到直线 的距离为 .
求椭圆 的方程；
已知点 ，斜率为 的直线 交椭圆 于两个不同点 . ，设直线 与 的斜率分别为 ， ，①若直线 过椭圆 的左顶点，求此时 ， 的值；②试猜测 ， 的关系，并给出你的证明.
参考答案
一．选择题
1. C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. D 7. C 8. B 9. D 10. A
二．填空题
11. 且 } 12. ④ 13. 14. 15. ②③④
三. 解答题
16. 解：（1）由题可知， ，所以 ，解得 .
又由已知可得 ，……………2分
因为 ， ，……………5分
所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好. ……………6分
（2）从被检测的 辆甲品牌轻型汽车中任取 辆，共有 种二氧化碳排放量结果：
，…………10分
设“至少有一辆二氧化碳排放量超过 ”为事件 ,
则 ，
所以至少有一辆二氧化碳排放量超过 的概率是 . ………12分
17. 解：（1） ，……3分
令 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为 . ………6分
（2）∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，即 ，…………8分
∵ ，由余弦定理得 . ……①
因为向量 与 共线，所以 ，
由正弦定理得 ，……②………11分
解①②得 ， . …………12分
18. （1）证明：因为 平面 ，所以 . ……………2分
因为 是正方形，所以 ，又 ,
从而 平面 . ……………5分
（2）解：延长 交于点 ,
因为 ， ，
所以 ,…………7分
因为 ，所以 ,
所以 ，所以 ,……10分
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . …………12分
19. 解：（1）由 ，及 ，作差得 ，
即数列 成等比数列， ，
当 时， ，解得 ，故 . …5分
（2）当 时， ， ，
,………8分
,
,
作差得 ，
所以 . ………12分
20. 解:（1）由已知 ， ， ， ， ， ，……2分
依题意： ，所以 ；……5分
（2） ， 时， ，
① 时， ， ，即 ；………6分
② 时， ， ，即 ；………7分
③ 时，令 ,则 .
设 ，则 ，
当 时, 在区间 单调递减；
当 时, 在区间 单调递增.
所以当 时, 取得极小值,且极小值为
即 恒成立，故 在 上单调递增,又 ,
因此,当 时, ,即 . ……12分
综上，当 时, ；当 时, ；
当 时, . ……13分
21. 解：（1）设椭圆的右焦点 ，由右焦点到直线 的距离为 ，解得 ，
又由椭圆的离心率为 ， ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 . …………4分
（2）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是 ，
联立方程组 ，解得 ，
故 . ………7分
②猜测： . 证明如下：………8分
设直线在 轴上的截距为 ,所以直线的方程为 .
由 ,得 .
设 . ,则 ， . ………10分
又
故 .
又 ， ，
所以
故 . ………14分
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