山东烟台2015高考诊断性测试数学理
一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）
1. 若集合 ，集合 ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 的共轭复数 （ ）
A. B. C. D.
3. “ ， ”是“函数 的图象过原点”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 甲乙两名同学参加某项技能比赛， 名裁判给两人打出的分数如下茎叶图所示，依此判断（ ）
A. 甲成绩稳定且平均成绩较高
B. 乙成绩稳定且平均成绩较高
C. 甲成绩稳定，乙平均成绩较高
D. 乙成绩稳定，甲平均成绩较高
5. 某程序的框图如右图所示，执行该程序，则输出的结果为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知 ， ，且 ， ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
7. 设点 是区域 内的随机点，函数 在区间 上是增函数的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 若双曲线 （ ， ）的左. 右焦点分别为 . ，线段 被抛物线 的焦点分成 两段，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知 是 内一点，且 ， ，若 . . 的面积分别为 . . ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数 （ ），定义函数 ，给出下列命题：① ；②函数 是偶函数；③当 时，若 ，则有 成立；④当 时，函数 有 个零点. 其中正确命题的个数为（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）
11. 若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 .
12. 现有 枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面，把 枚硬币摆成一摞，满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有 种（用数字作答）.
13. 若某四面体的三视图如右图所示，则这个四面体四个面的面积中最大值的是 .
14. 已知 ， ， ， ， ， ，经计算： ， ， ， ，照此规律则 .
15. 已知圆 和两点 ， （ ），若圆 上至少存在一点 ，使得 ，则 的取值范围是 .
三. 解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）
16. （本小题满分12分）在 中，角 . . 所对的边分别为 . . ，已知 .
求角 的大小；
若 ， ，求 值.
17. （本小题满分12分）为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了理科. 文科两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示. 现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两组中共抽取 名同学进行测试.
求从理科组抽取的同学中至少有 名女同学的概率；
记 为抽取的 名同学中男同学的人数，求随机变量 的分布列和数学期望.
18. （本小题满分12分）已知等差数列 中， ，前 项和为 且满足条件： （ ）.
求数列 的通项公式；
若数列 的前 项和为 ，且有 （ ）， ，证明：数列 是等比数列；又 ，求数列 的前 项和 .
19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥 中， ， ， ， ，平面 平面 .
求证：平面 平面 ；
若直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
20. （本小题满分13分）已知椭圆 （ ）的右焦点 ，过点 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于 ， 两点，当直线 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为 .
求椭圆 的方程；
设 为坐标原点，线段 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由.
21. （本小题满分14分）已知函数 （ ）.
当 时，求函数 图象在点 处的切线方程；
求函数 的单调区间；
若 ， ，且对任意的 ， ， 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
一. 选择题
1. C 2. B 3. A 4. D 5. C 6. C 7. A 8. D 9. C 10. D
二. 填空题
11. 12. 5 13. 10 14. 15.
三. 解答题
16. 解：（1）由正弦定理可得 ，
由余弦定理： ，…………………2分
因为 ，所以 .
（2）由（1）可知， ，…………………4分
因为 ，B为三角形的内角，所以 ，…………………6分
故
…………………9分
由正弦定理 ，
得 . …………………12分
17. 解：（1）两小组的总人数之比为8:4=2:1，共抽取3人，所以理科组抽取2人，
文科组抽取1人，…………………2分
从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女，
所以所求的概率为： . …………………4分
（2）由题意可知 的所有可能取值为0,1,2,3，…………………5分
相应的概率分别是
, ，
, ,………………9分
所以 的分布列为：
0 1 2 3
P
.
18. 解：
………………2分
∴
所以 ………………4分
（2）由
所以 ， ， ………………4分
所以 是等比数列且 ， ………………6分
∴
∴ ………………8分
∴ ………………9分
∴
利用错位相减法，可以求得 . ………………12分
19. 解：（1）∵平面 平面 ，
平面 平面 ， ，
∴ 平面 ,………………2分
又∵ ，故可建立空间直角坐标系 如图所示，
不妨设 ,
则有 ，
∴ ，
∴ ，………………4分
∴ ，
∴ 平面 .
又 平面
∴平面 平面 ………………6分
（2）由（1），平面 的一个法向量是 ， ,
设直线 与平面 所成的角为 ，
，解得 ，
∵
∴ ，即 ………………8分
设平面 的一个法向量为 ， ，
由 ,
∴ ，不妨令 ，则 ………………10分
∴ ,
显然二面角 的平面角是锐角，
∴二面角 的余弦值为 . ……………12分
20. 解：（1）由题意知 ，
又 ，所以 ，……………2分
，所以椭圆的方程为： ；……………4分
（2）设直线 的方程为： ，代入 ，得：
设 ，线段 的中点为 ，
则 ，……………7分
由 得： ，
所以直线 为直线 的垂直平分线，
直线 的方程为： ，……………9分
令 得： 点的横坐标 ，……………10分
因为 ，所以 ，所以 . ……………12分
所以线段 上存在点
使得 ，其中 . ……………13分
21. 解（1）当 时， ， ，
，……………2分
所以 ，切线方程为 ，即 ……………4分
（2）由题意可知，函数 的定义域为 ，
，……………6分
当 时， ， ， 为增函数， ， ， 为减函数；
当 时， ， ， 为减函数， ， ， 为增函数. ……………8分
（3）“对任意的 恒成立”等价于“当 时，对任意的 成立”，当 时，由（2）可知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，而 ，所以 的最小值为 ，
，
当 时， ，
时， ，显然不满足 ，……………10分
当 时，令 得， ，
（1）当 ，即 时，在 上 ，所以 在 单调递增，所以 ，只需 ，得 ，所以
（2）当 ，即 时，在 ， 单调递增，在 ， 单调递减，所以 ，
只需 ，得 ，所以
（3）当 ，即 时，显然在 上 ， 单调递增， ， 不成立，……………13分
综上所述， 的取值范围是 ……………14分
点击下载：山东省烟台市2015年高考诊断性测试数学（理）
