四川省遂宁市2015届高三第二次诊断考试
理科数学试题
1．已知集合 ， ，
则
A． B． C． D．
2．在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成绩（单位：分）.
甲组 乙组
9 0 9
5 1 3
8
7 1 2 7
已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则 、 的值分别为
A．2，5 B．5，5 C．5，7 D．8，7
3．已知复数 满足： （ 是虚数单位），则 的虚部为
A． B． C． D．
4．为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象
A．向右平移 个单位长 B．向右平移 个单位长
C．向左平移 个单位长 D．向左平移 个单位长
5．已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为
A．1 B． C． D．
6．设 、 是实数，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．执行如图所示的程序框图，如果输入 ，
的值均为2，最后输出 的值为 ，
在区间 上随机选取一个数D，
则 的概率为
A． B．
C． D．
8．从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是
A．590 B．570 C．360 D．210
9．已知双曲线 （a＞0,b＞0）的离心率为4，过右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若 ，则 =
A．14 B．16
C．18 D．20
10．若函数 满足对任意的 ，都有 成立，则称函数 在区间 上是“被 约束的”。若函数 在区间 上是“被 约束的”，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填答题卷指定横线上）
11．圆心在原点且与直线 相切的圆的方程为 ▲
12．某几何体的三视图（单位： ）如题所示，则此几何体的体积为
▲
13．已知定义在R上的函数 满足 ，
且 ，则 ▲
14．如图，从气球 上测得正前方的河流的两岸 ， 的俯角分别为
, ，此时气球的高是 ，则河流的宽度 等于 ▲
15．若函数 满足 （其中 不同时为0），则称函数 为“准奇函数”，称 点 为函数 的“中心点”。现有如下命题：
①函数 是准奇函数；
②若准奇函数 在R上的“中心点”为 ，则函数 不是R上的奇函数；
③已知函数 是准奇函数，则它的“中心点”为 ；
④已知函数 为“准奇函数”，数列 是公差为 的等差数列，若 （其中 表示 ），则
其中正确的命题是 ▲ 。 （写出所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共6个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。答在答题卷指定位置。
16．（本小题满分12分）
已知函数 ，其中A、B、C是 的三个内角，且满足 ，
（1）求 的值；
（2）若 ，且 ，求 的值。
▲
17．（本小 题满分12分）
由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市政府决定从今年3月份开始进行汽车尾 气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示。
节排器等级如表格所示
综合得分K的范围 节排器等级
一级品
二级品
三级品
若把频率分布直方图中的频率视为概率，则
（1）如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，然后从这10件中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；
（2）如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，求其二级品数 的分布列及数学期望；
▲
18．(本小题满分12分)
如图，已知四边形ABCD为正方形， 平面 ， ∥ ，且
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值。
▲
19．（本小题满分12分）
已知数列 为等差数列，其中
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，当不等式 （ ）恒成立时，求实数 的取值范围。
▲
20．（本小题满分13分）
已知定点 ， ，定直线 ： ，动点 与点 的距离是它到直线 的距离的 .设点 的轨迹为 ，过点 的直线交 于 、 两点，直线 、 与直线 分别相交于 、 两点。
（1）求 的方程；
（2）以 为直径的圆 是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。
▲
21．（本小题满分14分）
已知函数 （ 是自然对数的底数）,
（1）若 ，求 的极值；
（2）对任意 证明： ；
（3）对任意 都有 成立，求实数 的取值范围。
▲
遂宁市高中2015届第二次诊断性考试
数学（理科）参考答案及评分意见
一、选择题：每小题5分，满分50分
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，
11． ； 12．90； 13． ； 14． 15．①③④
三、解答题（本大题共6个小题，共75分）
16．（本小题满分12分）
解：（1）因为 ，所以 ，又 ，
从而 ................3分
所以 .
..............6分
（2） ，
因为 所以 ，从而 或 （舍去）。 ...............9分
由正弦定理知 ，所以 ...............12分
17．（本小题满分12分）
②由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号的节排器中一级品的概率为 ，二级品的概率为 ，三级品的概率为 ，如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，则二级品数 可能的值为0，1，2，3 ...............6分
又
因而 的分布列为
0 1 2 3
...............10分
..............12分
（法二：因为 ～ ，所以 ）
1 8．(本小题满分12分)
（法二）
以点A为坐标原点，AD所在的 直线为x轴，AB所在直线为y轴，AE所在直线为z轴建立直角坐标系，则
，
所以
从而有 • =0， • =0
所以
又因为 从而 面 ...............6分
由（1）知向量 为平面 的法向量
设平面 的法向量为
则 即 ；令 得
故 ...............10分
所以二面角 的余弦值为 ...............12分
①当 为偶数时，要使不等式 （ ）恒成立，只需不等式 恒成立即可，∵ ，等号在 时取得，∴ ...............9分
②当 为奇数时，要使不等式 （ ）恒成立，只 需不等式 恒成立即可，∵ 是随 的增大而增大，∴ 时， 取得最小值 ，∴ ...............11分
综合①②可得 的取值范围是 ...............12分
20．（本小题满分13分）
解：（1） ，设 为C上任意一点，依题意有
∴ ...............5分
（2）易知直线 斜率不为0，设直线 方程为
由 ，得
设 ， ，则 ， ...............7分
由 ，知 方程为 ，点 坐标为
同理，点 坐标为 ...............9分
由对称性，若定点存在，则定点在 轴上。设 在以 为直径的圆上
则
∴ ……11分
即 ， ， 或
∴ 以 为直径的圆恒过 轴上两定点 和 ...............13分
注：1.若只求出或证明两定点中的一个不扣分。2.也可以由特殊的直线 ，如 ，得到圆与 轴的交点 和 后，再予以证明。3.用几何法证明也给满分。
21．（本小题满分14分）
解：（1）设
当 ， ，当 ，
所以当 时， 单调递减，当 时， 单调递增
从而当 时， 取得的极小值 …………3分
（2）证明：令 ， ，当 ，
所以当 时 单调递增； ；
所以 ，
所以 …………8分
（3）令 ，
，令 解得
（i）当 时， 所以对所有 ， ； 在 上是增函数.
所以有
即当 时，对于所有 ，都有 .
（ii）当 ，
，
即 ，所以当 时，不是对所有的 都有 成立.
综上， 的取值范围是 …………14分
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