四川省遂宁市2015届高三第二次诊断考试
文科数学试题
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各
5名学生的听力成绩（单位：分）.
甲组 乙组
9 0 9
5 1 3
8
7 1 2 7
已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则 、 的值分别为
A．2，5 B．5，5 C．5，7 D．8，7
3．已知复数 满足： （ 是虚数单位 ），则 的虚部为
A． B． C． D．
4．为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象
A．向右平移 个单位长 B．向右平移 个单位长
C．向左平移 个单位长 D．向左平移 个单位长
5．设 、 是实数，则“ ”是“ ”的
A．充分必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为
A．1 B．
C．2 D．
7．在区间 上随机选取一个数M，
不变执行如右图所示的程序框图，且
输入 的值为1，然后输出 的值为N，
则 的概率为
A． B．
C． D．
8．如右下图所示是一个几何体的 三视图，则该几何体的表面积为
A． B．
C． D．
9．过抛物线 的焦点F作直线交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若 ，则 =
A．14 B．16 C．18 D．20
10．函数 的定义域为D，若函数 满足：（1） 在D上为单调函数；（2）存在区间 ，使得 在 上的值域为 ，则称函数 为“取半函数”。若 ，且 为“取半函数”，则 的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是 需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填答题卷指定横线上）
11．圆心在原点且与直线 相切的圆的方程为 ▲
12．已知偶函数 在 单调递减，且 ，
若 ，则 的取值范围是 ▲
13．已知双曲线 的离心率为2，焦点到渐 近线的距离为 ，则此双曲线的焦距等于 ▲
14．如右图，为测量坡高 ，选择A和另一个山坡的坡顶C为测量观测点。从A点测得 点的仰角 ，C点的仰角 以及 ；从C点测得 。已知坡高 米，则坡高 ▲ 米
15．若函数 满足 （其中 不同时为0），则称函数 为“准奇函数”，称点 为函数 的“中心点”。现有如下命题：
①函数 是准奇函数；
②函数 是准奇函数；
③若准奇函数 在 上的“中心点”为 ，则函数 为 上的奇函数；
④已知函数 是准奇函数，则它的“中心点”为 ；
其中正确的命题是 ▲ 。（写出所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共6个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明 过程或推演步骤。答在答题卷指定位置。
16．(本小题满分12分)
已知函数 ，且满足 ，
（1）求 的值；
（2求 的最大 值。
▲
17．(本小题满分I2分)
某学校有男老师45名，女老师15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的学科攻关小组。
（1）求某老师被抽到的概率及学科攻关小组中男、女老师的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个学科攻关小组决定选出2名老师做某项实验，方法是先从小组里选出1名老师做实验，该老师做完后，再从小组内剩下的老师中选1名做实验，求选出的2名老师中恰有1名女老师的概率；
▲
18．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD， 平面ABCD， ， ，E为BC中点。
（1）求证：平面 平面PDE；
（2）线段PC上是否存在一点F，使PA//平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.
▲
19．（本小题满分12分）
已知数列 为等差数列，其中
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，当不等式 （ ）恒成立时，求实数 的取值范围。
▲
20．(本小题满分13分)
已知定点 ， ，定直线 ： ，动点 与点 的距离是它到直线 的距离的 .设点 的轨迹为 ，过点 的直线交 于 、 两点，直线 、 与直线 分别相交于 、 两点。
（1）求 的方程；
（2）试判断以线段 为直径的圆是否过点 ，并说明理由。
▲
21．(本小题满分14分)
已知函数 ， （ 为常数， 是自然对数的底数）， 为 的导函数，且 ，
（1）求 的值；
（2）对任意 证明： ；
（3）若对所有的 ≥0，都有 ≥ax成立，求实数a的取值范围。
▲
遂宁市高中2015届第二次诊断性考试
数学（文科）参考答案及评分意见
一、选择题：每小题5分，满分50分
二、填空题：每小题5分，满分25分
11． 12．（0，4） 13．4 14．75 15． ①③④
三、解答题：满分75分
16．( 本小题满分12分)
解：（1）因为 ，所以 ，又 ，
所以 ................3分
所以 。
..............6分
（2） ，因为
所以 ，从而当 时 取得最 大值 ...............12分
18．（本小题满分12分）
证明: (1)连结
所以
为 中点
所以 ……………3分
又因为 平面 ,
所以
因为 ……………4分
所以 平面 ……………5分
因为 平面 ,所以平面 平面 ……………6分
(2)当点 位于 三分之一分点(靠近 点)时, 平面 ……………7分
连结 交于 点
,所以 相似于
又因为 ，所以
从而在 中, ……10分
而
所以 ………11分
而 平面
平面
所以 平面 ………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）∵
所以 .... ...........5分
（2）∵数列 满足
∴ ，
∴ ...............8分
要使不等式 （ ）恒成立，只需不等式
恒成立即可 ...............10分
∵ ，等号在 时取得，∴ ...............12分
20．(本小题满分13分)
解：（1） ，设 为E上任意一点，依题意有
∴ 。 ..............5分
21．(本小题满分14分)
解：（1） 所以 .............3分
（2）证明：令 ， ，当 ，
所以当 时 单调递增，从而有 ；
所以 ，
所以当 ..............8分
（3）令 ，
则 ，令 解得
（i）当 时，所以 ，从而对所有 ， ; 在 上是增函数.
故有
即当 时，对于所有 ，都有 .
（ii）当 ，
，
即 ，
所以，当
综上， 的取值范围是 ..............14分
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