北京市2014-2015学年高三年级综合能力测试（二）
数学（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2、 的取值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
3、在极坐标系中，圆 的半径为（ ）
A． B． C． D．
4、执行如图所示的程序框图，那么输出的 的值为（ ）
A． B． C． D．
5、已知直线 和直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6、已知数列 满足 ，且 ，则数列 的前 项的和为（ ）
A． B． C． D．
7、已知向量 ， 是夹角为 的单位向量．当实数 时，向量 与向量 的夹角范围是（ ）
A． B．
C． D．
8、某几何体的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
9、双曲线 的离心率为 ．
10、已知 ，则 ．
11、如图， 是半圆 的直径， 与 相交于点 ，且 ．若 ，则 的长为 ．
12、某门选修课共有 名学生参加，其中男生 人，教师上课时想把 人平均分成三个小组进行讨论．若要求每个小组中既有男生也有女生，则符合要求的分组方案共有 种．
13、已知函数 （其中 ）经过不等式组 所表示的平面区域，则实数 的取值范围是 ．
14、已知两个电流瞬时值的函数表达式唯爱 ， ， ，它们合成后的电流瞬时值的函数 的部分图象如图所示，则 ， ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15、（本小题满分13分）如图，在锐角三角形 中， ，点 在 边上，且 ， ．
求角 的大小；
若 ，求边 的长．
16、（本小题满分13分）在某地区的足球比赛中，记甲、乙、丙、丁为同一小组的四支队伍，比赛采用单循环制（每两个队比赛一场），并规定小组积分前两名的队出线，其中胜一场积 分，平一场积 分，负一场积 分．由于某些特殊原因，在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积 分，乙队积 分，丙和丁队各积 分．根据以往的比赛情况统计，乙队胜或平丙队的概率均为 ，乙队胜、平、负丁队的概率均为 ，且四个队之间比赛结果相互独立．
求在整个小组赛中，乙队最后积 分的概率；
设随机变量 为整个小组比赛结束后乙队的积分，求随机变量 的分布列与数学期望；
在目前的积分情况下， 同学认为：乙队至少积 分才能确保出线， 同学认为：乙队至少积 分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）
17、（本小题满分14分）已知三棱柱 中， 是以 为斜边的等腰直角三角形，且 ．
求证：平面 底面 ；
求 与平面 所成角的正弦值；
若 ， 分别是线段 ， 的中点，问在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ．
18、（本小题满分13分）已知函数 ．
若直线 与 在 处相切，求实数 ， 的值；
若 ，求证： 存在唯一极小值．
19、（本小题满分14分）已知椭圆 过点 ，且其右顶点与椭圆 的右焦点重合．
求椭圆 的标准方程；
设 为原点，若点 在椭圆 上，点 在椭圆 上，且 ，试判断直线 与圆 的位置关系，并证明你的结论．
20、（本小题满分13分）已知无穷整数数集 （ ）具有性质 ：对任意互不相等的正整数 ， ， ，总有 ．
若 且 ，判断 是否属于 ，并说明理由；
求证： ， ， ， ， ， 是等差数列；
已知 ， 且 ，记 是满足 的数集 中的一个，且是满足 的所有数集 的子集，求证： ， 互质是 的充要条件．
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