浙江省六校2015届高三年级联考
数学(理)试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分,考试时间为120分钟.
参考公式:
柱体的体积公式 其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高
锥体的体积公式V= Sh. 其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高
台体的体积公式V= h 其中S1,S2分别表示台体的上,下底面积
球的表面积公式S=4 R2 其中R表示球的半径,h表示台体的高
球的体积公式 其中R表示球的半径
选择题部分(共40分)
一、选择题
1.若全集U=R,集合 ,则集合
A. B. C. D.
2. 已知直线l:y=kx 与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为 ”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
3.△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c, 若B=2A, a=1, b= , 则c=
A.2 B.2 C. D.1
4.设 是三个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,下列判断正确的是
A.若 ⊥ ,则 ⊥ ,则 ∥ B.若 ⊥ , ∥ ,则 ⊥
C.若则m⊥ , n⊥ , m∥n D.若m∥ ,n∥ ,则m∥n
5. 已知函数f (x)=Asin 在它的一个最小正周期内的图象上,最高点与最低点的距离是,则A等于
A.1 B.2 C.4 D. 8
6. 已知向量是单位向量 ,若 • =0,且 ,则 的取值范围是
A.[1,3] B.[ ] C.[ , ] D.[ ,3]
7.已知双曲线 的左、右焦点分别为F1, F2, P为双曲线上任一点,且 • 最小值的取值范围是 ,则该双曲线的离心率的取值范围为
A. B. C. D.
8.已知 ,令 ,则方程 解的个数为
A.2014 B. 2015 C. 2016 D.2017
非选择题部分(共110分)
二、填空题
9. 函数 的单调增区间为 ,已知 ,且 ,则 .
10.设公差不为零的等差数列{an}满足: a1=3, a4+5是a2+5和a8+5的等比中项,则an= , {an}的前n项和Sn =_________.
11.某空间几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则其体积是 cm3, 表面积是 ____ cm2.
12.已知变量x,y满足 ,点(x,y)对应的区域的面积__________, 的取值范围为__________.
13.已知F为抛物线C: y2=2px(p 0)的焦点,过F作斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点,设 ,则 = .
14.若实数a和b满足2×4a-2a•3b+2×9b=2a+3b+1,则2a+3b的取值范围为__________________.
15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 ,以顶点A为球心,2为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于________.
三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答请写在答卷纸上,应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本题15分)如图,在△ABC中,已知 ,AC= , D为BC边上一点.
(I)若AD=2,S△DAC= ,求DC的长;
(II)若AB=AD,试求△ADC的周长的最大值.
17.(本题15分)如图,在三棱锥A-BCD中, AB⊥平面BCD,BC⊥CD,∠CBD=60°,BC=2.
(I)求证:平面ABC⊥平面ACD;
(II)若E是BD的中点,F为线段AC上的动点,EF与平面ABC所成的角记为 ,当tan 的最大值为 ,求二面角A-CD-B的余弦值.
18. (本题15分)已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2,该椭圆的离心率为 ,A是椭圆上一点,AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为 .
(I)求椭圆的方程;
(II)是否存在过F2的直线l交椭圆于A、B两点,且满足△AOB的面积为 ,若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
19.(本题15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn .
(I)求证{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(II)证明:
20.(本题14分)已知函数 f(x)=x2+4|x-a|(x R).
(I)存在实数x1、x2 [-1,1],使得f(x1)=f(x2)成立,求实数a的取值范围;
(II)对任意的x1、x2 [-1,1],都有|f(x1)-f(x2)| 成立,求实数k的最小值.
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