绝密★启用前 试卷类型：A
2015年汕头市普通高考第一次模拟考试试题
理 科 数 学
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0 .5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上 要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多 涂的答案无效．[来源:学.科.网Z.X.X.K][来源:学科网]
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、若 为虚数单位，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2、若全集 ， ， ，则集合 等于（ ）
A． B． C． D．
3、若双曲线的标准方程为 ，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4、已知命题 ， ，命题 ， ，则（ ）
A．命题 是假命题 B．命题 是真命题
C．命题 是真命题 D．命题 是假命题
5、在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6、设 ， ， 为平面， ， 为直线，则 的一个充分条件是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
7、已知等差数列 的前 项和为 ，又知 ，且 ， ，则 为（ ）
A． B． C． D．
8、气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续 天的日平均温度均不低于 ”．现有甲、乙、丙三地连续 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地： 个数据的中位数为 ，众数为 ；
②乙地： 个数据的中位数为 ，总体均值为 ；
③丙地： 个数据中有一个数据是 ，总体均值为 ，总体方差为 ．
则肯 定进入夏季的地区有（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①
二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）
（一）必做题（9～13题）
9、把二进制数 化为十进制数，结果为 ．
10 、设空间向量 ， ，且 ，则 ， ．
11、二项展开式 中，含 项的系数为 ．
12、一元二次不等式 的解集为 ，则一元一次不等式 的解集为 ．
13、已知实数 ， 满足 ，若目标函数 的最大 值为 ，最小值为 ，则实数 的取值范围是 ．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14、（坐标系与参数方程选做题）曲线 （ 为参数），若以点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ．
15、（几何证明选讲选做题）如图， 是 的高， 是 外接圆的直径，若 ，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
16、（本小题满分12分）已知函数 ．
求 的值；
判断并证明函数 的奇偶性；
设 为第四象限的角，且 ，求 的值．
17、（本小题满分12分）某中学一名数学老师对全班 名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分 分），其中 分（含 分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：
根据以上两个直方图完成下面的 列联表：
根据 中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？
若从成绩在 的学生中任取 人，求取到的 人中至少有 名女生的概率．
18、（本小题满分14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
求证： 平面 ；
设 为直线 与平面 所成的角，求 的值；
设 为 中点，在 边上求一点 ，使 平面 ，求 的值．[来源:Zxxk.Com]
19、（本小题满分14分）在平面直角坐标系 中，已知动点 到两个定点 ， 的距离的和为定值 ．
求点 运动所成轨迹 的方程；
设 为坐标原点，若点 在轨迹 上，点 在直线 上，且 ，试判断直线 与圆 的位置关系，并证明你的结论．
20、（本小题满分14分）已知 是数列 的前 项和，且满足 （ ， ），又已知 ， ， ， ， ， ．
计算 ， ，并求数列 的通项公式；
若 ， 为数列 的前 项和，求证： ．
21、（本小题满分14分）设函数 （ ）．
当 时，求过点 且与曲线 相切的切线方程；
求函数 的单调递增区间；
若函数 有两个极值点 ， ，且 ，记 表示不大于 的最大整数，试比较 与 的大小．
[来源:Zxxk.Com]
2015年汕头市普通高考第一次模拟考试试题
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A C A D C B
二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）
（一）必做题（9～13题）
9、 10、 11、 12、 13、
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分）
14、 15、
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
16、解：（1） ……(3分)
（2）函数 是非奇非偶函数（既不是奇函数也不是偶函数）……(4分)
取 ，则
[来源:学科网]
显然 ，
所以函数 是非奇非偶函数。（否定一件事情，最好用特殊值法）……(6分)
为第四象限的角 ……(10分)
……(12分)
17、解：(1)
成绩性别 优秀 不优秀 总计
男生 13 10 23
女生 7[来源:学科网ZXXK] 20 27
总计 20 30 50
-----------------（4分）
(2)由(1)中表格的数据知， K2＝ ≈4.844. ---- -----（6分）
∵K2≈4.844≥3.841，∴有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系．-----（8分）
（3）成绩在 的学生中男生 人，
女 生有 人，--------------（9分）
从6名学生中任取 人，共有 种选法，
若选取的都是男生，共有 种选法；--------------------（10分）
故所求事件的概率 .-------------------------（12分）
【知识点】频率分布直方图； × 列联表；独立性检验的基本思想；排列组合；概率.
18． 解：（1）证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，
俯视图为直角梯形，∴ 两两垂直。
且 , ……………（3分）
以BA，BB1 ，BC分别为 轴建立空间直角坐标系，如图
则N（4,4,0），B1（0, 8,0），C1（0,8,4），C（0,0,4）
∵ =（4,4,0）•（-4,4,0）=-16+16=0
=（4,4,0）•（0,0,4）=0
∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，
∴BN⊥平面C1B1N； -----------------（5 分）
（2）设 为平面 的一个法向量，
则
则 -----------------（9分）
（3）∵M（2,0,0）．设P(0,0,a)为BC上一点,
则 , ∵MP//平面CNB1,
∴
又 ,
∴当PB=1时MP//平面CNB1 ----------（14分）
19、解：（1）由题意知： ……(1分)
所以，由椭圆的 定义可知：动点 运动的轨迹是: 以 ， 为焦点， 长轴长为4，焦距为 的椭圆，且短半轴长为
所以轨迹 的方程为 ……(4分)
（2）直线 与圆 相切。……(5分)
证明如下：设点 ， ，显然其中 ,
因为 ，所以 ，即 ，所以 ……(6分)
①当直线 的斜率不存在时，即 时， ，代入椭圆方程可得：
，解得： ，
此时直线 的方程为 或 ，显然与圆 相切。……(8分)
②当直线 的斜率存在，即 时，直线 的方程为：
，即 ……(9分)
此时，圆心 到直线 的距离 ……(10分)
又因为 ，
所以
= =
= ，所以，直线 与圆 相切。
综上，直线 与圆 相切。……(14分)
20、解：方法一：（I）当 时，由已知得
因为 ，所以 …… ①…………………(1分)
当 时， …………………(2分)
又 ……②
由②－①得 ． …… ③ …………………(3分)
当 时， …………………(4分)
对于③式又有 ． …… ④
由④－③得 （ ） …… ⑤ …………………(5分)
⑤表明：数列 是以 =4为首项，2为公差的等差数列，
所以 ， …………………(6分)
方法二：（I）当 时，由已知得
因为 ，所以 …… ①…………………(1分)
当 时， …………………(2分)
又 ……②
由②－①得 ．（ ）…………………(3分)
所以 ，（ ），且
它表示数列 （ ）（从第二项开始起）是从 开始，以 为公比的 等比数列。…………………(4分)
所以 ，所以 ，（ ），…………………(5分)
所以 ， …………………(6分)
（II）又因为 不满足⑤
而⑤也表明 是从 开始，以2为公差的等差数列，
所以 ， …………………(7分)
所以
也可以写成 ，
所以 ，…………………(8分)
也可以写成
所以对于数列 的前 项和 有
①当 时， = …………………(9分)
②当 时 = …………………(10分)
③当 时，
=
=
=
…………………(13分)
④当 时，
综上所述 的前 项和 对任意正整数成立。…………………(14分)
21、解：（1）显然曲线方程为 ，设切点为
由 得到切线的斜率为 。则切线方程为
因为切线过点 ，所以 ，解得
所以切线方程为 …………………(3分)
（2）显然函数的定义域为 ，且
令 并结合定义域可得
对应一元二次方程的判别式
故当 ，即 时，对应方程有两个不等实根
与 …………………(4分)
① 当 ，即 时， 恒成立，
所以函数的增区间为 ……………(5分)
② 当 时，对应方程两根为正，故函数的单调增区间为
与 ……………(6分)
③ 当 时，对应方程两根 ， ，
故函数的单调增区间为 ……………(7分)
（3） ，令 得
由题意知方程有两个不相等的正数根 ，则
解得 ， ……………(8分)
解方程得 ，则 . ……………(9分)
又由 得 ，
所以 = ,
当 时， ，即函数 是 上的增函数
所以 ，故 的取值范围是 .[来源:Z§xx§k.Com]
则 . ……………(11分)
同理可求 ， = ，
，即函数 是 上的减函数
所以 ，故 的取值范围是
则 = 或 =0 ……………(13分)
当 = 时， ；
当 = 时， . ……………(14分)
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