北京市2014-2015学年高三年级综合能力测试（二）
数学（文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、复数 （ ）
A． B． C． D．
2、已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3、若 ，且 ，则角 的终边所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4、2001年至2013年北京市电影放映场次的情况如右图所示．下列函数模型中，最不合适近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）
A． B．
C． D．
5、执行如图所示的程序框图，那么输出的 的值为（ ）
A． B． C． D．
6、已知直线 和直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7、已知等比数列 的公比 ，则下面说法中不正确的是（ ）
A． 是等比数列 B．对于 ， ，
C．对于 ，都有 D．若 ，则对于任意 ，都有
8、某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
9、抛物线 的准线方程为 ．
10、已知 ，则 ，函数 的值域为 ．
11、已知向量 ， 是夹角为 的单位向量，则向量 与向量 的夹角是 ．
12、在 中， ， ， ，则 ．
13、假设某商店只有每盒10支装的铅笔和每盒7支装的铅笔两种包装类型．学生打算购买2015支铅笔，不能拆盒，则满足学生要求的方案中，购买的两种包装的总盒数的最小值是 ，满足要求的所有购买方案的总数为 ．
14、已知函数 （其中 ）经过不等式组 所表示的平面区域，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15、（本小题满分13分）已知 （ ）的部分图象如图所示．
写出 的最小正周期及 ， 的值；
求 在 上的取值范围．
16、（本小题满分13分）下图为北京市2001年到2013年人均生活用水量和常住人口的情况：
比较前6年与后7年人均生活用水量的平均值的大小；（不要求计算过程）
若从这13年中随机选择连续的三年进行观察，求所选的这三年的人均用水量恰是依次递减的概率；
由图判断从哪年开始连续四年的常住人口的方差最大？并结合两幅图表推断北京市在2010至2013四年间的总生活用水量的增减情况．（结论不要求证明）
17、（本小题满分14分）已知三棱柱 ．
若三棱锥 的体积为 ，写出三棱柱 的体积；（不要求过程）
若 ， 分别是线段 ， 的中点，求证： 平面 ；
若 ，且 ，求证：平面 底面 ．
18、（本小题满分13分）已知函数 ．
若直线 与 在 处相切，求实数 ， 的值；
若 在定义域上单调递增，求实数 的取值范围．
19、（本小题满分14分）已知椭圆 过点 ，且其右顶点与椭圆 的右焦点重合．
求椭圆 的标准方程；
设 为原点，若点 在椭圆 上，点 在椭圆 上，且 ，求证： ．
20、（本小题满分13分）已知整数数集 （ ， ）具有性质 ：对任意 ， ， （ ）， ．
请举出一个满足上述条件且含有5个元素的数集 ；
求证： ， ， ， ， 是等差数列；
已知 ， ，且 ，求数集 中所有元素的和的最小值．
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