赣州市2015年高三年级摸底考试
文科数学 2015年3月
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2. 回答第Ⅰ卷时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集 ，集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．一个小组的3个学生在分发数学作业时，从他们3人的作业中各随机地取出2份作业，则每个学生拿的都不是自己作业的概率是
A． B． C． D．
4．已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
5．已知函数 是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是
① ；② ；③ ；④ ．
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
6．某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，…（从第三项起每一项
等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那
么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是
A．
B．
C．
D．
7．已知抛物线C： 焦点为F，点P是C上一点，若△POF
的面积为2，则
A． B． C． D．4
8．一个体积为 的四棱锥的主视图和俯视图如图所示，则该棱锥
的左视图的面积为
A． B．
C． D．
9．已知向量 ， ，若向量 满足 与 的夹角为
， ，则
A．1 B． C．2 D．
10．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
11．如图是函数 图象的一部分，对不
同的 ，若 ，有 ，则 的值为
A． B． C． D．
12．已知数列 满足 ， 是其前n项和，若 ，则
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～第24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。
13．不等式组 表示的平面区域是面积为 ．
14．设 是等差数列 的前n项和，若 ，则 ．
15．A、B、C三点在同一球面上， ， 2，且球心O到平面ABC的距离为1，则此球O的体积为 ．
16.设函数 其中 ，若动直线 与函数 的图像有三个交点，它们的横坐标分别为 ，则 的范围为 ．
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若 ， ，求b、c 的值．
（18）(本小题满分12分)
在四棱锥 中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥PB， ．
（Ⅰ）求证： PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）设E是棱AB的中点， ， ，
求四棱锥 的体积．
（19 ）(本小题满分12分)
为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重（单位：千克），将他们的体重数据整
理后得到如下频率分布直方图.已知图中从左到右前3个小组的频率之比为 ，其中第二小组的频数为12．
（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数n；
（Ⅱ）已知A、a是该校报考体育专业的两名学生，
A的体重小于55千克， a的体重不小于 千克．现从该校报考体育专业的学生中按分层抽样分别抽取小于 千克和不小于 千克的
学生共6名，然后在从这6人中抽取体重小于 千克的学生2人，体重不小于 千克的学生1人组成3人训练组，求A在训练组且a不在训练组的概率.
（20）(本小题满分12分)
已知椭圆E： 的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于
原点对称的两点，且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为 ．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）过E的右焦点作直线l与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线 分别交
于C、D两点，记△ACD与△AMN的面积分别为 、 ，且 ，求直线l的方程．
（21）(本小题满分12分)
设函数 （e为自然对数的底），曲线 在点 处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设 ，求证： ．
请考生在第22、23、24两题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分。
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O
于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于点H．
（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；
（Ⅱ）若 ，求△BDF外接圆的半径．
（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的 轴的正半轴
重合．点A、B的极坐标分别为 、 （ ），曲线 的参数方程为 为参数 ．
（Ⅰ）若 ，求 的面积；
（Ⅱ）设 为 上任意一点，且点 到直线 的最小值距离为 ，求 的值．
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数 ．
（Ⅰ）当 时，解不等式 ；
（Ⅱ）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
赣州市2015年高三模底考试文科数学参考答案
一、选择题
1～5 CABBD 6～10 CAADA 11～12 DB
二、填空题
13． 14．5 15． 16．
三、解答题
17．（1）由正弦定理得 …………………………2分
所以 ……………………………………………………4分
因为 ，故 ………………………………………………………………5分
所以 ……………………………………………………………………………………6分
（2）由 ，得 …………………………………………………………7分
由条件 ， ，
所以由余弦定理得 ………………………9分
解得 ………………………………………………………………………12分
18．（1）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD 平面ABCD ，
所以 平面PAD………………………………………………………………………2分
又 平面PAD，所以PD⊥AB………………………………………………………3分
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PAB…………………………………………………………5分
（2）设 ，则 ……………………………………………………6分
在Rt△PAE中， ………………7分
在Rt△BEC中， ………………8分
在Rt△BEC中， ……………9分
由 得 ，即 ，解得 ……10分
所以四棱锥 的高 ………………………………………………11分
故四棱锥 的体积 …………………………12分
19．解：（1）由图知第四组的频率为 ，
第五组的频率为. ………………………………………………………3分
又有条件知前三组的频率分别为 ，所以 …………………5分
（2）易知按分层抽样抽取6名体重小于55千克和不小于70千克的学生中，体重小于55千克的学生4人，记为
体重不小于70千克的学生2人，记为 …………………………………………………6分
从中抽取满足条件的所有结果有： ，
共12种…………………10分
所求事件的概率为 ………………………………………………………………12分
20．（1）设 ，则 ……………………………………1分
，依题意有
又 ，所以解得
故 的方程为 ……………………………………………………………………5分
（2）设直线MN的方程为 ，代入E的方程得 ……6分
设 ，则 …………………………7分
直线MA的方程为 ，把 代入，
得 ，同理 …………………………………………………8分
所以
所以 …………………………………………………………………9分
…………………………………………………………10分
，所以 ，解得 …………………………………11分
故直线l的方程为 或 ……………………………………………12分
21．（1） ，所以 …………………………………………1分
依题意知 ，解得 ………………………………………………………2分
把点 代入切线方程得 ，所以 ……………………………4分
（2）欲证 ，只需证 ……………………………5分
记 ，则 ，记 ………………6分
则 ，由此可知 在 上单调递减，在 上单调递增…7分
因为 ，
故 在 只有一个零点 ，且 ……………………9分
所以 在 递减，在 递增…………………………………………………10分
所以当 时， ……………………………11分
所以
故 ………………………………………………………………………12分
选做题
22．（1）因为 为圆 的一条直径，所以 …………………………………2分
又 ，所以 四点共圆…………………………………………………4分
(2)因为AH与圆B相切于点F，
由切割线定理得 ，代入解得AD=4………………………………………5分
所以 …………………………………………………6分
又△AFB∽△ADH，所以 ………………………………………………………7分
由此得 ………………………………………………………………8分
连接BH，由（1）知，BH为△BDF外接圆的直径， ……9分
故△BDF的外接圆半径为 ………………………………………………………………10分
23．（1） …………………………………………………4分
（2）依题意知圆心到直线 的距离为3…………………………………………………5分
当直线 斜率不存在时，直线 的方程为 ，
显然，符合题意，此时 ……………………………………………………………6分
当直线 存在斜率时，设直线 的方程为 ………………………………7分
则圆心到直线AB的距离 ………………………………………………………8分
依题意有 ，无解…………………………………………………………………9分
故 …………………………………………………………………………………10分
24．（1）当 时， ……………………3分
根据图易得 的解集为 ……………………5分
（2）令 ，
由 对任意 恒成立等价于 对任意 恒成立………6分
由（1）知 的最小值为 ，所以 ………………………………8分
故实数a的取值范围为 ……………………………………………………10分
法（2） 易知 ，只需 且 ，解得 ．
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