注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2．考生作答时，选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。
4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。
怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷
2015年高三第一次模考 理科数学
命题人：湖天中学 刘 华 审题人：王 杏、丁亚玲、蒋晖林、张理科
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.
1．已知命题 则
A. B.
C. D.
2．已知 是等差数列，若 ，则 的值是
A . 9 B. 6 C. 3 D. 1
3．将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为
A. B. C. 0 D.
4．设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：
① ⊥ ， ∥ ，则 ⊥ ； ②若 ⊥ ， ⊥ ，则 ∥ ；
③若 ∥ ， ∥ ， ⊥ ，则 ⊥ ；
④．若 = ， = ， ∥ ，则 ∥ .
其中正确命题的序号是
A．①和③ B．②和③ C．③和④ D．①和④
5．若执行右边的程序框图，输出 的值为4，则判断框中应填入的条件是
A. B. C. D.
6．已知实数 、 满足 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
7．已知集合 ， ，在区间 上任取一实数 ，
则 的概率为
A． B． C． D．
8．若 ，则 的值为
A． B． C． D．
9. 定义符号函数 ，则下列结论中错误的是
A. B.
C. D.
10. 知双曲线 , 、 是实轴顶点, 是右焦点， 是虚轴端点，若在线段 上（不含端点）存在不同的两点 ，使得 构成以 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率 的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.
（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）
11．若 , 且 ，则 的最小值为 .
12. 在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 ．则曲线 与曲线 的交点个数为 个.
13．如图， ， 是圆 上的两点，且 ， ， 为
的中点，连接 并延长交圆 于点 ，则 = .
（二）必做题（14~16题）
14．已知函数 为奇函数, 且当 时, 则 .
15. 如图，在 中， 为 的中点， 为 上任一点，
且 ，则 的最小值为_______.
16.已知函数 有3个零点，则实数 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分12分)
已知向量 ， ，函数 .
（Ⅰ）求函数f (x)的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 ， ，
的面积为 ，且a > b，求 的值．
18．（本小题满分12分）
某校为进行爱国主义教育，在全校组织了一次有关钓鱼岛历史知识的竞赛．现有甲、乙两队参加钓鱼岛知识竞赛，每队3人，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中3人答对的概率分别为 、 、 ，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队的总得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）用 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用 表示“甲队总得分大于乙队总得分” 这一事件，求 ．
19．（本小题满分12分）
如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点， ，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求出该几何体的体积；
（Ⅲ）试问在边 上是否存在点N，使
平面 ？ 若存在，确定点N的
位置；若不存在，请说明理由.
20．(本小题满分13分)
某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为 万元 ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 ．
（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 的取值范围是多少？
21.(本题满分13分)
已知圆 的公共点的轨迹为曲线 ,且曲线 与 轴的正半轴相交于点 . 若曲线 上相异两点 、 满足直线 , 的斜率之积为 .
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）证明直线 恒过定点，并求定点的坐标；
（Ⅲ）求 的面积的最大值.
22．(本小题满分13分)
设函数 .
（Ⅰ）若函数 在区间 上是单调递增函数，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若函数 有两个极值点 ，且 ，求证： .
怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷
2015年高三一模 理科数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A A C B C B D B
二、填空题
11、 4 ； 12、1； 13、 ；
14、 ； 15、9； 16、 .
三、解答题14. 15.9 16.
17解：（Ⅰ） ……1分
………………… 3分
∴函数 的最小周期 …………………… 4分
由 ……………… 5分
得 的单调递减区间 ……………6分
（Ⅱ）
是三角形内角， ∴ 即 ……………… 8分
∴ 即： ．
由 得 ，
消去 可得： …………………10分
解之得 ， ,
,∴ ， …………………… 12分
18（Ⅰ）解法一：由题意知， 的可能取值为0，1，2，3，且
， ，
， ……………4分
的数学期望为 …………… 6分
解法二：根据题设可知， …………… 3分
因此 的分布列为 ， ………4分
因为 ，所以 …………… 6分
（Ⅱ）解法一：用 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以 ，且 互斥…………… 7分
又 …………… 9分
…………… 11分
由互斥事件的概率公式得 …… 12分
解法二：用 表示“甲队得 分”这一事件，用 表示“乙队得 分”这一事件， ．
由于事件 ， 为互斥事件，…………… 7分
故有 ．…………… 8分
由题设可知，事件 与 独立，事件 与 独立，…………… 9分
因此
…………… 12分
19（Ⅰ）证明：∵M为DB的中点，取BC中点G，连接EM,MG,AG，
∴ MG∥DC，且 ∴ MG //AE且MG=AE，
∴四边形AGME为平行四边形， ∴EM∥AG,
又AG 平面ABC ∴EM∥平面ABC.…………………………4分
（Ⅱ）由题意，EA⊥平面ABC , DC⊥平面ABC ,AE∥DC,AE=2, DC=4 ,AB⊥AC,
且AB=AC=2（Ⅰ）∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB, 又AB⊥AC,
∴AB⊥平面ACDE ∴四棱锥B-ACDE的高h=AB=2，梯形ACDE的面积S= 6
∴ ， 即所求几何体的体积为4…………………………8分
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知EM∥AG，又∵面BCD⊥底面ABC，AG⊥BC,∴AG⊥平面BCD
∴EM⊥平面BCD，又∵EM 平面BDE， ∴平面BDE⊥平面BCD
在平面BCD中，过M作MN⊥DB交DC于点N,∴MN⊥平面BDE 点n即为所求的点
∽ ， ，而
∴ 边DC上存在点N，满足DN= DC时，有NM⊥面BDE…………… 12分
解法2：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A（0，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0）
D（－2，0，4），E（0，0，2），M（-1，1，2），
，
，
假设在DC边上存在点N满足题意，
则
解之得
∴边DC上存在点N，满足DN= DC时，NM⊥平面BDE……………12分
20解：（1）由题意，得10(1000－x)(1＋0.2x %)≥10×1000，即 －500x≤0，
又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业 ……… 5分
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为 万元，
从事原来产业的员工的年总利润为 万元，
则 ≤ …………… 8分
所以 ≤1000＋2x－x－ ，
所以ax≤ ＋1000＋x，即a≤ ＋ ＋1恒成立…………… 11分
因为 ≥ ＝4，当且仅当 ＝ ，
即x＝500时等号成立，所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5．
所以a的取值范围为 …………… 13分
21解：（Ⅰ）设⊙ ，⊙ 的公共点为 ,由已知得， ，故 , 因此曲线 是长轴长 ，
且 所以曲线 …………3分
（Ⅱ）由曲线 的方程得，上顶点 由题意知， 。
与已知不符，因此直线AB的斜率存在…………4分
① …………5分
所以
又
由 得
即
所以
化简得
结合
（Ⅲ）由
又
当且仅当 ，即 时，
的面积最大，最大值为 …………13分
22解：（Ⅰ）由题意， ＝ 在区间 上恒成立
即 在区间 上恒成立
而 在区间 上的最大值为 故
经检验，当 时， 当 时， ，
所以满足题意的 的取值范围是 …………4分
（Ⅱ）函数的定义域为 ， ＝
依题意，方程 在区间 上有两个不相等的实根
记
则有 ，解得0＜a＜ ………… 7分
为方程 的解，∴ .
∵0＜a＜ ， ， ＝－ ，∴－ ＜ ＜0，从而 ＜0
先证 ＞0，因为 ，即证 ＜0
∵在区间 内， ＜0，在区间（ ，0）内， ＞0
∴ 为极小值， ＜
∴ ＞0成立…………10分
再证 ＋ln2，即证 ＞（－ ＋ln2）（－1－ ）＝（ －ln2）（ ＋1）
令 ＝ ，x∈（－ ，0）
＝2 －（4 ＋2）ln（ ＋1）－ －ln2）
＝－2（2 ＋1）ln（ ＋1）－（ －ln2）
又ln（ ＋1）＜0，2 ＋1＞0， －ln2＜0
∴ ＞0，即 在（－ ，0）上是增函数
＞ （－ ）＝
＝ ＝ －ln2
综上可得， 成立 ………… 13分
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