2015年宁波市高三十校联考
数学（理科）试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分．
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
参考公式:
柱体的体积公式 其中S表示柱体的底面积, h表示柱体的高．
锥体的体积公式 其中S表示锥体的底面积, h表示锥体的高．
台体的体积公式 ,其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积,h表示台体的高．
球的表面积公式 ．
球的体积公式 ,其中R表示球的半径．
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.条件 是条件 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分又非必要条件
2.已知直线 和平面 、 ，则下列结论一定成立的是
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ，则 D.若 ， ，则
3.已知等差数列 的公差为 ,项数为偶数,所有奇数项的和为 ,所有偶数项的和为 ,则这个数列的项数为
A.10 B.20 C.30 D.40
4. 直线 截圆 所得劣弧所对的圆心角的大小为
A. B. C. D.
5．双曲线 的一条渐近线与抛物线 有且仅有一个公共点,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
6．设两个向量 和 ，其中 为实数,
若 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
7．设 的内角 所对的边 成等比数列,则 的取值范围是
A. B. C. D.
8.已知函数 ,若 ,且
,则 与2的大小关系是
A.恒大于2 B.恒小于2 C.恒等于2 D.与 相关.
非选择题部分(共110分)
二、 填空题: 本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．
9.全集 , ， ,
则 ______ , _________.
10．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，
可得这个几何体的体积等于_______，全面积为_________.
11.若 ,则 _____ , 的解集为_____.
12．已知点 ， 为坐标原点，点 满足 ,
则满足条件点 所形成的平面区域的面积为_____, 的最大值是 __.
13．设 为椭圆 上的点, 为其左、右焦点,且 的面积为6,
则 ______.
14.设二次函数 的值域为 ，且 ，
则 的取值范围是____________.
15．设 是周期为 的周期函数，且当 时，
,若函数 有且仅有五个零点，
则正实数 的取值范围是______.
三、解答题: 本大题共5小题, 共74分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
16．(本小题满分15分)
已知 的面积为 ，且满足 ，设 和 的夹角为 ．
（I）求 的取值范围；
（II）求函数 的最大值与最小值．
17．(本小题满分15分)
如图，三棱柱 中，点 在平面 内的射影 在线段 上， ， .
（I）证明： ；
（II）设直线 与平面 所成角为 ，
求二面角 的平面角的余弦值．
18．(本小题满分15分)
已知动点 到直线 的距离是它到定点 的距离的 倍．
(I)求动点 的轨迹 的方程；
(II)过 作与 轴垂直的直线与轨迹 在第三象限的交点为 ，过 的动直线与轨迹 相交于不同的两点 ，与直线 相交于点 ，记直线 的斜率依次为 ，试证明： 为定值．
19.(本小题满分15分)
已知数列 满足 ，点 在直线 上．数列 满足 , （ 且 ）．
(I)(i)求 的通项公式 ;(ii) 证明 （ 且 ）；
(II)求证： .
20. (本小题满分14分)
设二次函数 ， ，且存在实数 使得 .
(I)求证：(i) ； (ii) ;
(II) 函数 的图象与 轴的两个交点间的距离记为 ，
求 的取值范围．
命题：北仑中学 吴文尧 审题：奉化中学 范璐婵
2015年宁波市高三“十校联考”
数学(理科)试题参考答案
一．选择题：本大题共8小题, 每小题5分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A C A A D A
二、填空题：本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分
9. (1) (2)
10. (1) , (2) 11.(1) , (2)
12. (1) , (2) 13. 14. 15.
三、解答题: 本大题共5小题, 共74分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．
16.（I）因为 ，所以 ，------2分
又因为 ，所以 ，----------5分
所以 ，即 ，由于 ，所以 ．---7分
（II）
----------------1１分
由 可知： ，
所以 ，即 时， ------------13分
，即 时， ．----------15分．
17.（I）证明：因为 平面 ， 平面 ，
所以二面角 为直二面角， ，
所以 平面 ，----------2分
所以 ，
平行四边形 中， ，
所以 为菱形，所以 ，------4分
所以 平面 ，----------6分
而 平面 ，
所以 ．------------7分
（II）（解法一）由于 平面 ，
所以 即为直线 与平面 所成的角，故 ，------------------9分
作 于 ，连结 ，则 ，所以 即为二面角 的平面角，-------------------------------11分
中， --------12分
中， ------13分
中， ，---------14分
所以
即二面角 的平面角的余弦值为 -------------15分
（解法二）由于 平面 ，
所以 即为直线 与平面 所成的角，故 ， ， -----------------9分
在平面 内，过点 作 的垂线 ，则 两两垂直，建立空间直角坐标系如图，
则 ， ， --------11分
所以 ， ，平面 的一个法向量为
平面 的一个法向量为 -------13分
---------------------14分
即二面角 的平面角的余弦值为 -------------15分
18.(I)作 直线 于 ，则由题意可知： ，---------1分
由于 ， -------------------------------3分
所以 ，化简得动点 的轨迹 的方程为： ---6分
(II)易得 ，
（1） 当动直线 的斜率 时，
此时 ，
，此时， -------------------8分
（2） 当动直线 的斜率 时，设直线 的方程为 （其中 ）
令 得， ，所以 ，所以 --------10分
设 ，则 ，
，
所以 -----------------12分
把 代入方程 可得：
所以 所以 ------------14分
所以 ，所以 成立．--------15分
19.(I)因为点 在直线 上，所以 ，
所以 ，所以
所以 ----------------------4分
(II)因为
所以 ， ，
所以有 ，所以 成立．-----8分
（III）由(I) 、(II)可知， ， ， 时，
-------------10分
又因为
所以
（其中 ）---------------13分
所以
所以有 成立．-------------15分．
20.(I) （i）因为 ，且 ，所以 ，且 ，
因为存在实数 使得 ，即存在实数 使 成立，
所以 ，即 ---------2分
因为 ，所以 ．-------------------4分
（ii）由题意可知 的两根为 ，
所以可设 ，其中 ， ，---------５分
因为 ，所以 ，即
所以必有 ，-------------------------６分
由于 ， ，所以 ，即
又因为 ，所以 ，所以 -----------７分
所以
所以 ，即 成立．----------８分．
(II) 由(I)可知 ，
因为 ，
，所以函数 的图象与 轴必有两个交点，记为 ，则 ，
-------１０分
（其中 ）---------１２分
所以 ，所以 ------------------------------１４分．
点击下载：浙江省宁波地区十校2015届高三下学期模拟联考 （数学理）
