2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试
高三数学试题
(考试时间：120分钟 总分：160分)
命题人：朱占奎 张圣官 张 俊 龚才权 丁连根
审题人：丁凤桂 石志群
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
（参考公式：柱体体积公式为 ）
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1.若复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 = ▲ ．
2.已知集合 ， ，若 ，则 ▲ ．
3.某高中共有 人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样
的方法从中抽取 人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．
4.已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ▲ ．
5.执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．
6.若圆柱的侧面积和体积的值都是 ，则该圆柱的高为 ▲ ．
7.小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此
点到圆心的距离大于 ，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是 ▲ ．
8.在等比数列 中，已知 ，则 ▲ ．
9.已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则实数 的取值集合为
▲ ．
10.已知实数 满足 ，则 的取值范围是 ▲ ．
11.设函数 和 的图象在 轴左、右两侧靠近
轴的交点分别为 、 ，已知 为原点，则 ▲ ．
12.若斜率互为相反数且相交于点 的两条直线被圆 ： 所截得的弦长之比为 ，则这两条直线的斜率之积为 ▲ ．
13. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是
▲ ．
14. 在 中， 为边 上一点， ，若 的外心恰在线段 上，则 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.（本题满分14分）
已知向量 ， ， ．
（1）若 ∥ ，求角 的大小；
（2）若 ，求 的值．
16.（本题满分14分）
如图，矩形 所在平面与直角三角形 所在平面互相垂直， ，点 分别是 的中点．
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求证：平面 平面 ．
17.（本题满分14分）
如图，某市有一条东西走向的公路 ，现欲经过公路 上的 处铺设一条南北走向的公路 ．在施工过程中发现在 处的正北 百米的 处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以 为圆心， 百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路 、 ，欲再新建一条公路 ，点 、 分别在公路 、 上，且要求 与圆 相切．
（1）当 距 处 百米时，求 的长；
（2）当公路 长最短时，求 的长．
18.（本题满分16分）
如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左顶点为 ，与 轴平行的直线与椭圆 交于 、 两点，过 、 两点且分别与直线 、 垂直的直线相交于点 ．已知椭圆 的离心率为 ，右焦点到右准线的距离为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）证明点 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；
（3）求 面积的最大值．
19.（（本题满分16分）
已知 ， ， 都是各项不为零的数列，且满足 ， ，其中 是数列 的前 项和， 是公差为 的等差数列．
（1）若数列 是常数列， ， ，求数列 的通项公式；
（2）若 （ 是不为零的常数），求证：数列 是等差数列；
（3）若 （ 为常数， ）， ，求证：对任意的 ，数列 单调递减．
20.（本题满分16分）
己知 ，其中常数 ．
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）若函数 有两个零点 ，求证： ；
（3）求证： ．
2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试
高三数学试题(附加题)
21.（［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．
A．（本小题满分10分，几何证明选讲）
如图， 是圆 的切线，切点为 ， 是过圆心的割线且交圆 于 点，过 作 的切线交 于点 ．
求证：（1） ；（2） ．
B．（本小题满分10分，矩阵与变换）
已知矩阵 ，矩阵 ，直线 经矩阵 所对应的变换得到直线 ，直线 又经矩阵 所对应的变换得到直线 ．
（1）求 的值；（2）求直线 的方程．
C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为 ．
（1）把直线 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）已知 为椭圆 上一点，求 到直线 的距离的最小值．
D．（本小题满分10分，不等式选讲）
已知不等式 对于满足条件 的任意实数 恒成立,求实数 的取值范围．
［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.(本小题满分10分)
某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了 名幸运之星．这 名幸运之星可获得 、 两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于 的获得 奖品，抛掷点数不小于 的获得 奖品．
（1）求这 名幸运之星中获得 奖品的人数大于获得 奖品的人数的概率；
（2）设 、 分别为获得 、 两种奖品的人数，并记 ，求随机变量 的分布列及数学期望．
23.(本小题满分10分)
已知 （ ）， 是关于 的 次多项式；
（1）若 恒成立，求 和 的值；并写出一个满足条件的 的表达式，无需证明．
（2）求证：对于任意给定的正整数 ，都存在与 无关的常数 ， ， ，…， ，
使得 ．
2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试
高三数学参考答案
一、填空题
1． ； 2． ； 3． ； 4． ； 5． ；
6． ； 7． ； 8． ； 9． ； 10． ；
11． ； 12． 或 ； 13． ； 14． .
二、解答题
15. 解：(1) 因为 ，所以 ，即 ，
所以 ， 又 ，所以 ． ……………７分
(2)因为 ，所以 ，化简得 ，
又 ， ，则 ， ，
所以 ，则 ， ……………10分
又 ， ，
所以 ．
……………14分
16. 证：（1）取 中点 ，连接 ，
又 是 中点，则 ，
又 是矩形 边 中点，
所以 ，则四边形 是平行四边形，
所以 ，又 面 ， 面 ，所以 ∥平面 ．…７分
（2）因为平面 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 ， ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以平面 平面 ． ……………14分
17. 解：以 为原点，直线 、 分别为 轴建立平面直角坐标系．
设 与圆 相切于点 ，连结 ，以 百米为单位长度，则圆 的方程为 ，
(1)由题意可设直线 的方程为 ，即 ， ，
∵ 与圆 相切，∴ ，解得 ，
故当 距 处 百米时， 的长为 百米． ……………5分
（2）设直线 的方程为 ，即 ， ，
∵ 与圆 相切，∴ ，化简得 ，则 ，
……8分
令 ，∴ ，
当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增，
∴ 在 时取得最小值，故当公路 长最短时， 的长为 百米．
答：（1)当 距 处 百米时， 的长为 百米；（2）当公路 长最短时， 的
长为 百米． ……………14分
18. 解：（1）由题意得 ， ，
解得 ，所以 ，所以椭圆 的标准方程为 ．
……………4分
（2）设 ，显然直线 的斜率都存在，设为
，则 ， ，
所以直线 的方程为： ，
消去 得 ，化简得 ，
故点 在定直线 上运动． ……………10分
（3）由（2）得点 的纵坐标为 ，
又 ，所以 ，则 ，
所以点 到直线 的距离 为 ，
将 代入 得 ，
所以 面积
，当且仅当 ，即 时等号成立，故 时， 面积的最大值为 ． ……………16分
19．解：（1）因为 ， ，所以 ，
因为数列 是各项不为零的常数列，所以 ， ，
则由 及 得 ，
当 时， ，两式相减得 ，
当 时， ，也满足 ，故 ． …………4分
（2）因为 ，
当 时， ，两式相减得 ，
即 ， ，即 ，
又 ，所以 ，
即 ，
所以当 时， ，两式相减得 ，
所以数列 从第二项起是公差为 等差数列；
又当 时，由 得 ，
当 时，由 得 ，
故数列 是公差为 等差数列． …………15分
（3）由（2）得当 时， ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 ，
当 时， ，两式相减得 ，
即 ，故从第二项起数列 是等比数列，
所以当 时， ，
，
另外由已知条件得 ，又 ， ， ，
所以 ，因而 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以对任意的 ，数列 单调递减． ……………16分
20. 解：函数 的定义域为 ，
（1）当 时， ， ，
而 在 上单调递增，又 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增，所以 有极小值 ，没有极大值． …………3分
（2）先证明：当 恒成立时，有 成立．
若 ，则 显然成立；
若 ，由 得 ，令 ，则 ，
令 ，由 得 在 上单调递增，
又因为 ，所以 在 上为负，在 上为正，因此 在 上递减，在 上递增，所以 ，从而 ．
因而函数 若有两个零点，则 ，所以 ，
由 得 ，则
，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以
，则 ，所以 ，
由 得 ，则
，所以 ，综上得 ． …………10分
（3）由（2）知当 时， 恒成立，所以 ，
即 ，
设 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 的最大值为 ，即 ，因而 ，
所以 ，即 ． …………16分
附加题参考答案
21.A．证：（1）∵ 是圆 的切线，∴ ，
连结 ，则 ，
∵ 是圆 的切线，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，则 ，
而 ，∴ ，∴ ， …………5分
（2）将 代入 得 ，故 ．……10分
21.B. 解：（1）
设 是 上的任意一点，其在BA作用下对应的点为 ，
得 变换到 的变换公式 ，则
即为直线 ，则得 ． …………5分
（2） ，同理可得 的方程为 ，即 ．………10分
21.C. 解：（1）直线 的极坐标方程 ，则 ，
即 ，所以直线 的直角坐标方程为 ；…………5分
（2） 为椭圆 上一点，设 ，其中 ，则 到直线 的距离 ，其中 ， ，
∴当 时， 的最小值为 ． …………10分
21.D. 解： 因为 ，所以 ，
…………5分
又 对任意实数 恒成立, 故 ，
解得 ． …………10分
22. 解：这 名幸运之星中，每人获得 奖品的概率为 ， 奖品的概率为 ．
（1）要获得 奖品的人数大于获得 奖品的人数，则 奖品的人数可能为 ，则
则所求概率为 ． …………4分
（2） 的可能取值为 ，且 ，
，
， …………8分
所以 的分布列是：
故随机变量 的数学期望 ． …………10分
23.解：（1）令 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ；
令 ，则 ，即 ，
因为 ，因为 ，所以 ；
例如 ． ……………4分
（2）当 时， ，故存在常数 ， ，
使得 ．
假设当 （ ）时，都存在与 无关的常数 ， ， ，…， ，
使得 ，即
．
则当 时，
；
令 ， ， （ ）， ；
故存在与 无关的常数 ， ， ，…， ， ；使得
．
综上所述，对于任意给定的正整数 ，都存在与 无关的常数 ， ， ，…， ，
使得 ．
…………10分
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