2015年常德市高三年级模拟考试
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．若复数 ， 为虚数单位，则 =
A． B． C． D．
2．设集合 ，则
A． B． C． D．
3．若 为实数，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设函数 和 分别为R上的奇函数和偶函数，则下列结论恒成立的是
A． 为奇函数 B． 为奇函数
C． 为偶函数 D． 为偶函数
5．已知等差数列 的公差 ，且 ，
则 的值为
A． B． C． D．
6．执行如图1所示的程序框图，输出的s的值为
A． B． C． D．
7．在钝角 中,若 ， ，
且 ,则
A． B． C． D．
8．已知某几何体的三视图都是全等的等腰直角三角形，直角边长为1，如图2所示，
则该几何体的表面积是
A． B．
C． D．
9．已知抛物线的方程为 ，过其焦点 的直线
与抛物线交于 、 两点，且 ， 为坐标原点，
则 的面积和 的面积之比为
A． B． C． D．
10．在 中，点 满足 ，当 点在线段 上移动时，
若 ，则 的最小值是
A． B． C． D．
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
11．某校有老师320人，男学生2200人，女学生1800人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为 的样本；已知从女学生中抽取的人数为45人，则 = ．
12．在极坐标系中，已知直线 过圆 的圆心，则 =___________．
13．已知⊙ 的半径为4，在圆 内任取一点 ，则点 到圆心 的距离大于1且小于2的概率为¬¬-______________
14．设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为4，则 的最小值为
15．已知函数 满足 ，且 时， ，则当 时， 与 的图象的交点的个数为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知函数 的最小值为 ,且图象上相邻两个最高点的距离为 ．
（Ⅰ）求 和 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的值．
17．（本小题满分12分）省教育厅为了解该省高中学校办学行为规范情况，从该省高中学校中随机抽取100所进行评估，并依据得分（最低60分，最高100分，可以是小数）将其分别评定为A、B、C、D四个等级，现将抽取的100所各学校的评估结果统计如下表：
评估得分 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100
评定等级 D C B A
频率 m 0.62 0.32 2m
（Ⅰ）求根据上表求m的值并估计这100所学校评估得分的平均数；
（Ⅱ）从评定等级为D和A的学校中，任意抽取2所，求抽取的两所学校等级相同的概率.
18．（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱 中， , ,
, 分别为棱 的中点．
（Ⅰ）求证: ∥平面 ；
（Ⅱ）若异面直线 与 所成角为 时，求三棱锥 的体积．
19．（本小题满分13分）在数列 中， ， ．
（Ⅰ）设 （ ），求证：数列 为等比数列；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ．
20．（本小题满分13分）已知椭圆 （ ）的左、右顶点是双曲线 的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为 ，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在同时满足下列两个条件的直线 ：①与双曲线相交于 、 两点，且 ，②与相交于 、 两点， 且 ．若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由．
21．（本小题满分13分）已知函数 .(题中 =2.71828为自然对数的底数)
（Ⅰ）若方程 在区间 上有2个不同的实根，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）点 （ ）是函数 的图象上一动点，求函数 的图象上点 处的切线与两坐标轴围成三角形面积的最小值；
（III）设 ，证明： ．
2015年常德市高三年级模拟考试
数学（文史类）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1. B 2.B 3.A 4. D 5.C 6.A 7.D 8.A 9.D 10.C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11. 108 12. 1 13. 14. 12 15. 9
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）函数 ，所以 ……………………………………3分
又由已知函数 的最小正周期为 ，所以 ， ……………6分
（Ⅱ）有（Ⅰ）得 ，所以
， ，
……………………………………………8分 , ……10分
………………………………………………………12分
另解: （Ⅱ）有（Ⅰ）得 ，所以
， ，
………………………………………9分，
………………………………………………………12分
17．（本题满分12分）（Ⅰ）由上表知：
…………………………… ……………………………2分
设 所学校评估得分的平均数为 ，则
分. …………………5分
（Ⅱ）由（1）知等级为A的学校有4所记作： ；等级为 的学校有 所记作： 从 中 任取两所学校取法有 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 共 种. …………………………………………………9分
记事件 为”从 中任取两所学校其等级相同”，则事件 包含的基本事件有 、 、 、 、 、 、 共 个
故 .……………………………………………………………………………12分
18．（本题满分12分）（Ⅰ）证明：取 的中点 ,连接 ,
因为 分别为棱 的中点，
所以 ∥ , ∥ , , 平面 ,
平面 ,所以平面 ∥平面 ，……………………4分
又 平面 ,
所以 ∥平面 . ………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 异面直线 与 所成角,所以 ,…8分
因为三棱柱 为直三棱柱，所以 平面 ,所以 平面 , , , ,
由 ,
平面 ,…………10分
所以
. ………………………12分
19. （本题满分13分）（Ⅰ）由 得
…………………………………………………………………2分
…………………………………………………4分
，故 是以 为首项，2为公比的等比数列.… ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， …7分
…………………………………………………………………………9分
其中 ……①
……②
①- ②得
∴ ………12分
∴ ……………………………………………………13分
20. （本题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知： ， …………………………1分
又椭圆的上顶点为 ，双曲线的渐近线为： ，
由点到直线的距离公式有： ， ………………………………3分
所以椭圆的方程为： ． ……………………………………4分
（Ⅱ）假设存在直线满足条件，则它的斜率一定存在。
设直线 的方程为 ，代入 ，消去 并整理得：
要与双曲线相交于两点，则应有：
…① …………………5分
设 、 ，则有： ， ．
又
又： ，所以有：
． ……② ……………………………………………………………7分
将 ，代入 ，消去 并整理得： ，
要有两交点，则 ……③
由①②③有： ． ……9分
设 、 ，则有： ， ． ……9分
所以：
又 ，代入有： ．…………… ……11分
由 ，满足条件． ……………12分
代入可求 ，故存在满足条件的直线 ，其方程为 ． ………………13分
21. （本题满分13分）解：（1）令 ，得 ，
令 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增， …………………………2分
又 ， ，要方程 在区间 上有2个不同的实根，则 ，即 ……………………………………4分
（2）点 处的切线为 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
（ ）………………………………………6分
令 ，则 ，
，
. … ………………………………………………………………………8分
（3） ，令 ，即 （*）
易知方程（*）的一根为 ，结合函数 与 图象，
设另一根为 ，则 ， …………………………………………9分
当 时， ， ， …………………………………10分
且当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
…………12分
， ……………………………………13分
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