2015年常德市高三年级模拟考试
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．若复数 ,则 的虚部为
A． B． C． D．
2．已知全集 ,若集合 ， ，则
A． B． C． D．
3．现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有 件、 件、 件、 件．为了调查产品的情况，需从这 件产品中抽取一个容量为 的样本，若采用分层抽样，设甲产品中应抽取产品件数为 ，设此次抽样中，某件产品 被抽到的概率为 ，则 ， 的值分别为
25， 20，
25， 25，
4．已知等差数列 的公差 ，且 ，
则 的值为
A． B． C． D．
5．执行如图1所示的程序框图，若 ，
则输出的结果为
A．170 B．126 C．62 D．42
6．钝角三角形 的面积是1， ， ，则
A．2 B． C．10 D．
7．若某几何体的三视图(单位： )如图2所示，
则该几何体的体积为
A．6 B．12 C． 18 D．36
8．设 满足约束条件 ，若 ，
，且 ，则正实数 的最小值为
A． B． C． D．
9．在 中，点 满足 ，点 是线段 上的一个动点，若 ，则 的最小值是
A． B． C． D．
10．已知椭圆 （ ）的左右顶点分别为 ， ，左右焦点分别为 ， ，点 为坐标原点，线段 的中垂线与椭圆在第一象限的交点为 ，设直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，若 ，则
A． B． C． D．
二．填空题：本大题共6小题，考生作答5个小题．每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，直线 被圆 与所截得的弦长为 ．
12．（几何证明选讲选做题）如图3，⊙ 是 的
外接圆， ，延长 到点 ，连结
交⊙ 于点 ，连结 ，若 ,则
的大小为 ．
13．（不等式选讲选做题）若两个正实数 满足 ，
且 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
（二）必做题（14—16题）
14．设 （其中 为自然对数的底数），则 的图
象与直线 ， 所围成图形的面积为 ．
15．设集合 ，若 的某个子集中任意2个元素之差的绝对值不等于1，则称此子集为 的“分离子集”，那么从集合 中任取3个元素构成子集 ，则 为“分离子集”的概率为 ______________．
16．若 是 在 的一个零点，则下列结论中正确的有 ．
① ； ② ；
③ ； ④ ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知函数 的最小值为 ，且图像上相邻两个最高点的距离为 ．
（Ⅰ）求 和 的值；
（Ⅱ）若 ， ，求 的值．
18．（本小题满分12分）某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ， ；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为 ， ，且两人租车的时间都不超过4小时．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望．
19．（本小题满分12分）在如图4所示的几何体中，四边形 为平行四边形，平面 平面 ， ， ∥ ， ， ，
．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）当二面角 的平面角的余弦值为 时，求三棱锥 的体积．
20．（本小题满分13分）已知 的图像过点 ，且对任意 ，都有 ，数列 满足 ， ．
（Ⅰ）求 关于 的表达式和数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ．
21．（本小题满分13分）已知椭圆 ： （ ）的左右顶点是双曲线 ： 的顶点，且椭圆 的上顶点到双曲线 的渐近线的距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若直线 与 相交于 ， 两点，与 相交于 ， 两点，且 ，求 的取值范围．
22．（本小题满分13分）已知函数 ．（其中 为自然对数的底数）
（Ⅰ）若方程 在区间 上有2个不同的实根，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）设 ，证明： ；
（III）若 ， 是函数 的图象上不同的两点，且函数 的图象在 ， 处切线交点的横坐标为 ，直线 在 轴上的截距为 ，记 ，请探索 的值是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
2015年常德市高三年级模拟考试
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．A 3．D 4．C 5．A 6．D 7．B 8．B 9．C 10．C
二．填空题：本大题共25分.把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上.
（一）选做题（11—13题，考生只从3题中任选2题作答。若3个都作答，则只给11、12题计分）
11．2 12． 13．
（二）必做题（14—16题）
14． 15． 16．①②③
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解：（Ⅰ）函数 ，
所以 ……………………………3分
又由已知函数 的最小正周期为 ，所以 ， ………6分
（Ⅱ）有（Ⅰ）得 ，所以
，
………………………………………9分
，
……………………………………………………12分
18． （1）甲、乙所付费用可以为 元、 元、 元
甲、乙两人所付费用都是 元的概率为 …………………1分
甲、乙两人所付费用都是 元的概率为 …………………2分
甲、乙两人所付费用都是 元的概率为
………3分
故甲、乙两人所付费用相等的概率为 ………………5分
（2）随机变量 的取值可以为 ……………………………6分
故 的分布列为：
……………………………………………10分
的数学期望是
………………………………………………………12分
19．（Ⅰ）证明：因为 ，平面 平面 ，所以 平面 ,
又 ∥ ，所以 平面 ，所以 ,又 ，所以 ≌ , ； ………………………………………………5分
（Ⅱ）取 的中点 ，因为 ，所以 ,又平面 平面 ，
所以 平面 , ……………………………………………………………6分
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ,设
，
设平面 的法向量为 ，
则由 ,即 ，
得 ， …………9分
由（Ⅰ）知 平面 ，所以平面 的法向量为 ,
， ………10分
所以 …………………12分
20．（Ⅰ）由已知 ，
∴ ……2分
∴ 为正偶数时， ，……………………………………………3分
为正奇数时，
且 时， 也适合上式………………………………5分
∴ ………………………………………………6分
（Ⅱ） ………………………………………7分
① 当 为正偶数时，
…………………………………………………8分
其中
两式相减得 =
∴ ，
∴当 为正偶数时， ………………………10分
② 为正奇数时，
……………………12分
∴ ……………13分
21．解：（Ⅰ）由题意可知： ， ……1分
又椭圆 的上顶点为 ，
双曲线 的渐近线为： ，………………………2分
由点到直线的距离公式有： ……………………3分
所以点 的轨迹 的方程为： ． …………………4分
（Ⅱ）易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，代入 ，消去 并整理得：
要与 相交于两点，则应有：
……① ……5分
设 、 ，则有： ， ．
又
又： ，所以有：
……② ………………7分
将 ，代入 ，消去 并整理得： ,
要有两交点，则 ……③
由①②③有： ． …………………………………9分
设 、 ，则有： ， ．
所以：
又 ，代入有：
．………………………………………………11分
，令 ，则 ，
令 ，又 ，
所以 在 内恒成立，故函数 在 内单调递增，
故 ． ……13分
22．解：（1）令 ，得 ，
令 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，………………2分
又 ， ，要方程 在区间 上有2个不同的实根，则 ，即 ………………4分
（2） ，令 ，即 （*）
易知方程（*）的一根为 ，结合函数 与 图象，设另一根为 ，则 ，
当 时， ， ，………………6分
且当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
， ………………9分
（3）设直线 ， ，
即 ，同理 ， ………① ……10分
设两切线交于点 ， ，
即 ，同理 ，
，………② ………………12分
由①②得 ，即 ，所以 ………………13分
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