湖北省 八校
2015届高三第二次联考
数学试题（文科）
命题学校：黄冈中学 命题人：胡小琴 审题人：曾建民
考试时间：2015年4月1日 下午15:00—17:00 试卷满分：150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 （其中 为虚数单位）， ， ，则复数 的共轭复数为
A． B． C． D．
2．若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
3．从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检
表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高校 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报 专业的人数为
A．10 B．20 C．8 D．16
4．已知 中，内角 , , 所对的边长分别为 , , ，若 ，且 ， ，则
的面积等于
A． B． C． D．
5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小一份的量为
A． B． C． D．
6．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于
A． B． C． D．
7．将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为 ， ，则直线 与圆
无公共点的概率为
A. B. C. D.
8．下列命题为真命题的是
A．已知 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．已知数列 为等比数列，则“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
C．已知两个平面 ， ，若两条异面直线 满足 且 ∥ ， ∥ ，则 ∥
D. ，使 成立
9．对于函数 ，若存在区间 ，使得 ，则称函数 为“可等域函数”，区间 为函数 的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为
A． B．
C． D．
10．已知二次函数 图象的顶点坐标为 ，与 轴的交点 , 位于 轴的两侧，以线段 为直径的圆与 轴交于 和 ，则点 所在曲线为
A． 圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．
11．设向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为 ．
12．已知 为钝角，且 ，则 = ．
13．设函数 ，则方程 的解集为 ．
14．已知抛物线 的焦点为 ，准线为直线 ，过抛物线上一点 作 于 ，若直线 的倾斜角为 ，则 ．
15．已知函数 的图象在点 处的切线与直线
垂直，执行如图所示的程序框图，输出的 值是 ．
16．在 上的函数 满足：① 为正常数）；②当 时， ，若函数 的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则 等于__________．
17．若集合 具有以下性质：① ， ；②若 ，则 ；且 时， ，
则称集合 是“完美集”．给出以下结论：
①集合 是“完美集”； ②有理数集 是“完美集”；
③设集合 是“完美集”，若 , ，则 ；
④设集合 是“完美集”，若 , ，则必有 ；
⑤对任意的一个“完美集” ，若 ，且 ，则必有 ．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本大题5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18. （本小题满分12分）
函数 （其中 ）的图象如图所示，
把函数 的图象向右平移 个单位，再向下平移1个单位，得
到函数 的图象．
（Ⅰ）求函数 的表达式；
（Ⅱ）已知 内角 的对边分别为 ，且 ．若向量 与 共线，求 的值．
19.（本小题满分12分）
数列 中， ， ，数列 满足 ， ．
（Ⅰ）若数列 是等差数列，求数列 的前 项和 ；
（Ⅱ）若数列 是公差为 的等差数列，求数列 的通项公式．
20.（本小题满分13分）
如图，梯形 中， 于 , 于 ,且 ，现将 ， 分别沿 与 翻折，使点 与点 重合，点 为 的中点，设面 与面 相交于直线 ，
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： 面 ．
21. （本小题满分14分）
已知函数 ，
（Ⅰ）求函数 的单调区间，并判断是否有极值；
（Ⅱ）若对任意的 ，恒有 成立，求 的取值范围；
（Ⅲ）证明： （ ）．
22．（本小题满分14分）
已知椭圆 ： ，若椭圆 上的一动点到右焦点的最短距离为 ，且右焦点到直线 的距离等于短半轴的长．已知点 ，过 点的直线 与椭圆 交于 , 两点，点 与点 关于 轴对称．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）求 的取值范围；
（Ⅲ）证明：直线 恒过某定点．
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2015届高三第二次联考
数学试题（文科）参考答案
一、选择题 1-5 6-10
二．填空题
11. 12. 13. 14．
15. 16. 17 ②③④⑤
1.【解析】选 ．由 ，可得 ，即得 ， ， 的共轭复数为
2.【解析】选 ．线性约束区域如下图， 看作是 ，当经过 与 的交点 时， 取最大值 ．
3.【解析】选 ．满足条件的有3组：视力在0.9到1.1；视力在1.1到1.3；视力在1.3到1.5，纵轴表示的是频率/组距，所以可以报考A专业的有(1+0.75+0.25) 0.2 50=20(人).
4.【解析】选 .由正弦定理可得 ，即 ，所以 ，因此这是一个正三角形．
5.【解析】选 ．易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为 ，公差为 ，根据题意，于是有[20+( )+( )] ( )，解得 = ．
6.【解析】选 ．这是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面三角形的中心连线的中点，外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离，可求半径为 ，那么外接球的表面积为 ．
7．【解析】B．直线 与圆 无公共点,则有 ，满足该条件的基本事件有15种，基本事件总数是36种，故所求概率为 ．
8.【解析】选 ．选项 中， 是 的必要不充分条件，所以 错；
选项 中，由 得 或 ，可以推出 ；但若 ，则该数列有可能是摆动的等比数列，如：1，－1，1，－1，1，－1……，此时推不出 ，所以 错；选项 中，当 时， ，所以 错．
9.【解析】选 ．选项A中，区间 都可以是“等可域区间”；选项C，D中，函数均为增函数且与 不可能有两个交点；选项B中，“等可域区间”为 ．
10【解析】选 ．结合二次函数的顶点坐标为( )，根据题意可得 ，①，二次函数图像和x轴的两个交点分别为( )和( )，利用射影定理即得： ，结合①先求出 和 之间的关系，代入①可得到，( )所在的曲线为 ，表示椭圆．
11.【解析】 ．向量 在向量 方向上的投影为 ．
12.【解析】 ． ，即 ，又 为钝角， ， ．
13．【解析】 ．令 = 或 = 或 ．
14.【解析】 ． 点只能在抛物线上半部分，设 点为 ， ， ，解得 ， ．
15．【解析】6．因为 ，即过A点的切线斜率为 ，与直线 垂直，可得 =－1从而 ， ，程序的算法中， ，跳出循环时 ．
16．【解析】 ．先令 ，那么 ， = ；再令 ，那么 ， = ；分别算出它们的极值点为( )， , ，三点共线解得 ．
17.【解析】 ②③④⑤
①－1 ，1 ，但是 ， 不是“完美集”；
②有理数集肯定满足“完美集”的定义；
③0 ， ，0－ =－ ，那么 ；
④对任意一个“完美集”A，任取 ，若 中有0或1时，显然 ；下设 均不为0，1，而
，那么 ，所以 ，进而 ，结合前面的算式， ；
⑤ ，若 ，那么 ，那么由(4)得到： ．
三．解答题
18（Ⅰ）由函数 的图象， ，得 ，
又 ，所以 ． ……………………3分
由图像变换，得 ．……………………6分
（Ⅱ）∵ ， 即
∵ ， ，
∴ ，∴ ． ………………………………………………7分
∵ 共线，∴ ．
由正弦定理 ， 得 ①………………………………9分
∵ ，由余弦定理，得 ②……………………11分
解方程组①②，得 ． ……………………………………12分
19. （Ⅰ） ， 且 是等差数列， ，
当 为奇数时， ，即 ；
当 为偶数时， ，则 ， ，
………………6分
（Ⅱ） 是公差为 的等差数列, ， ．
当 为奇数时， ；当 为偶数时， ．
即 且 ，因为
， ，
………………………………………12分
20． 解析：（Ⅰ） ．…………… 分
（Ⅱ）
①
，
在 中，连接 ,得 ,
且
②
结合①②得，即 面 ． ………………………………………………13分
21．（Ⅰ） ，（ ）， ，
即 ，当 ， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
在 处取得极大值，极大值为 ，无极小值．……………………………４分
（Ⅱ）方法1：因为 ，
对任意的 恒成立,由（1）知 ，
则有 ，所以 ．……………………………………………9分
方法2：记 ， ，
, ， ，由 得 即
上为增函数；
上为增函数；在 上为减函数．
因为对 即要求 恒成立,
所以 符合且
得 ． ……………………………………………………………… 分
（Ⅲ） ，由（Ⅰ）知 ，
则 （当且仅当 取等号）．
令 （ ），即 ，则有
则得证 ……………………………………………………………… 14分
22．解：（Ⅰ）由题意知 ， 解得 ，
故椭圆 的方程 ．…………………………………………………… 分
（Ⅱ）由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ．
由 得 ． ①
设点 ， ，
，
即 ． …………………………………………………… 分
(Ⅲ)由（Ⅱ）知， ，直线 的方程为 ．
令 ，得 ．
将 ， 代入，
整理，得 ． ②
由①得 ， 代入②整理，得 ．
所以直线 恒过定点 ． …………………………………………14分
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