湖北省 八校
2015届高三第二次联考
数学试题（理科）
命题学校：黄冈中学 命题人：龙燕 审题人：汤彩仙
考试时间：2015年4月1日下午15:00—17:00 试卷满分150分 考试用时120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为 ，集合 ，则
A. B.
C. D.
2. 若复数 满足 为虚数单位），则
A. B. C. D.
3. 执行如图所示的程序框图，则输出 的值为
A. B. C. D.
4. 某几何体的三视图（单位： ）如右图所示，其中侧视图是一个边长为
2的正三角形，则这个几何体的体积是
A. B. C. D.
5. 在等腰 中， ，
则 的值为
A． B． C． D．
6. 设不等式组 所表示的区域为 ，函数 的图象与
轴所围成的区域为 ,向 内随机投一个点,则该点落在 内的概率为
A. B. C. D.
7. 下列说法正确的是
A. “ ”是“ ”的充要条件
B. “ ， ”的否定是“ ”
C. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60
D. 在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ，若 在 内取值的概率为0.4，
则 在 内取值的概率为0.8
8. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个交点，若 ，则 =
A. B. C. 3 D. 2
9. 已知函数 ，若方程 有且仅有两个不等的实根，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
10.函数 图像上不同两点 处的切线的斜率分别是 ，规定 叫做曲线 在点 与点 之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数 图像上两点 与 的横坐标分别为 ，则
②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
③设点 、 是抛物线 上不同的两点，则 ；
④设曲线 上不同两点 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是 .以上正确命题的序号为
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④
二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
（一） 必考题（11—14题）
11. 已知二项式 的展开式的二项式系数之和为 ，则展开式中含 项的系数是_ _.
12. 若实数 满足 ，则当 取最小值时， 的值为________.
13. 如图，在平面直角坐标系 中，将直线 与直线 及 轴所围成的图形绕 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积 据此类比：将曲线 与直线 及 轴所围成的图形绕 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积 .
14.设数列 共有 项 ,且 ，对于每个 均有 .
（1）当 时，满足条件的所有数列 的个数为__________；
（2）当 时，满足条件的所有数列 的个数为_________.
(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）
15. （选修4—1：几何证明选讲）如图， 与圆 相切于 ，不过圆心 的
割线 与直径 相交于 点.已知∠ = ， ， ,
则圆 的半径等于__________．
16. （选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线 的参数方程为
（ 为参数），以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为 ，则直线 与曲线 相交的弦长为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）已知函数 .
(Ⅰ)求 的最小正周期；
(Ⅱ)在 中，角 所对的边分别为 ，若 且 的面积为 ，求边长 的值.
18. （本小题满分12分）等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，满足 ，
(Ⅰ)求数列 和 的通项公式；
(Ⅱ)令 设数列 的前 项和 ，求
19. （本小题满分12分）端午节即将到来，为了做好端午节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下：将一块边长为10的正方形纸片 剪去四个全等的等腰三角形 再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒 ,其中 重合于点O， 与 重合， 与 重合， 与 重合， 与 重合（如图所示）.
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）当 时,求二面角 的余
弦值.
20.（本小题满分12分）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在 ，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为 ， ， ， ， ，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．
（Ⅰ）求 的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气
质量指数的平均值；
（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为 ，求 的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．
21. （本小题满分13分）如图，已知椭圆 是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P、Q为椭圆上异于 且不重合的两点，且 的平分线总是
垂直于x轴，是否存在实数 ，使得 ，若存在，请求出 的
最大值，若不存在，请说明理由.
22. （本小题满分14分）已知函数 令 .
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值；
（Ⅲ）若 ，正实数 满足 ，证明：
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数学试题（理科）参考答案
1-5 CDABA 6-10 BDACB
11. 10 12. 5 13. 14. （1）3 （2）3139 15. 7 16.
1. 解析： ，
2. 解析：
3. 解析：
4. 解析：由图知几何体的体积为
5. 解析：
6. 解析：区域 的面积为 ，区域 的面积为 ，由几何概型知所求概率为 .
7. 解析：A中应为必要不充分条件；B中命题的否定为“ ， ”；C错；D对.
8. 解析：设 与 轴的交点为M，过 向准线 作垂线，垂足为N，则由 及 可得
9. 解析：令 得 ，原方程有两个相异的实根等价于两函数 与 的图象有两个不同的交点.
当 时，易知临界位置为 过点 和 ，分别求出这两个位置的斜率 和 ，由图可知此时
当 时，设过点 向函数 的图象作切线的切点为 ，则由函数的导数为 得
解得 ，得切线的斜率为 ，而过点 的斜率为 ，由图知此时 ，
10.解析：①错：
②对：如 ；③对： ；
④错： ，
恒成立，故 .
11.解析：由 得 ， ，令 得 ，故含 项的系数为 ．
12.解析：由柯西不等式得
此时 又 ，
13.解析：
14.解析：（1）当 时，因为 ， ，
所以 ， ，所以 或 或
所以满足条件的所有数列 的个数为3个；
(2)令 ，则对每个符合条件的数列 满足条件
，且
反之符合上述条件的9项数列 ，可唯一确定一个符合条件的10项数列
记符合条件的数列 的个数为 ，
显然 中有 个3， 个 ， 个1
当 给定时， 的取法有 种，易得 的可能值为
故
所以满足条件的所有数列 的个数为 个.
15.解析： 中， 由切割线定理得
又由相交弦定理得
所以直径为14，故半径为7.
16.解析：把直线 的参数方程化为普通方程得 ，把曲线 的极坐标方程化为普通方程得 ，圆心到直线的距离为 ，则弦长为
17.解析：
…………………4分
（1） ； …………………6分
（2） …………………8分
…………………10分
由余弦定理得 …………………12分
18.解析：(Ⅰ)设数列 的公差为d，数列 的公比为q，则
由 得 解得
所以 ， ． …………………4分
(Ⅱ)由 ， 得 ，
则 即 …………………6分
…………………9分
…………………12分
19.解：（Ⅰ） 折后 重合于一点
拼接成底面 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，
底面 是正方形，故 . …………………2分
在原平面图形中，等腰三角形 , ………………4分
又 平面 .
又 平面 ， 平面 平面 . …………………6分
（Ⅱ）法1：过 作 交 于 点，连 , 面 , ,
面 ， 为二面角 的平面角. …………………8分
当 时，即 中， ,
中， ,
所以所求二面角的余弦值为 …………………12分
法2：由（Ⅰ）知 并可同理得到 故以 为原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系
在原平面图形中， 则底面正方形 的对角线 ，
在原平面图形中，可求得
在 中，可求得
…………………8分
设平面 的一个法向量为 ，
则 得 令 ，则 …………………10分
平面 ， 是平面 的一个法向量，设二面角 的大小为
则 二面角 的余弦值为 …………………12分
20.解：(Ⅰ)由题意，得 解得 …………………3分
50个样本中空气质量指数的平均值为
由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6 …………6分
（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在 内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则 . 的可能取值为0，1，2，
的分布列为：
0 1 2
…………………8分
.(或者 )， …………………10分
故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为 天. … 12分
21.解：（I）∵ ∴
又 即 ，∴△AOC是等腰直角三角形 ……………2分
∵ ∴ 而点C在椭圆上，∴ ∴
∴所求椭圆方程为 …………………4分
（II）对于椭圆上两点 、Q，∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴
∴PC与CQ所在直线关于 对称，设 且 ，则 ，………6分
则PC的直线方程 ①
QC的直线方 ②
将①代入 得 ③
∵ 在椭圆上，∴ 是方程③的一个根，∴ ……………8分
以 替换 ，得到 .
而 ∴ ∴ ∥AB，∴存在实数 ，使得 ………………10分
当 时即 时取等号，
又 ， …………………… 13分
22.解：⑴ ……………………2分
由 得 又 所以 ．所以 的单增区间为 . ………4分
（2）方法一：令
所以 ．
当 时，因为 ，所以 所以 在 上是递增函数，
又因为
所以关于 的不等式 不能恒成立． ………………………6分
当 时， ．
令 得 ，所以当 时， 当 时， ．
因此函数 在 是增函数，在 是减函数．
故函数 的最大值为 …………8分
令 因为
又因为 在 上是减函数，所以当 时， ．
所以整数 的最小值为2． ……………10分
方法二：⑵由 恒成立，得 在 上恒成立．
问题等价于 在 上恒成立．
令 ，只要 ． ……………………6分
因为 令 得 ．
设 ，因为 ，所以 在 上单调递减，
不妨设 的根为 ．当 时， 当 时， ．
所以 在 上是增函数；在 上是减函数．
所以 ． …………………8分
因为
所以 此时 所以 即整数 的最小值为2 …… 10分
（3）当 时，
由 即
从而 ……………………13分
令 则由 得，
可知 在区间（0，1）上单调递减，在区间 上单调递增。所以
所以 即 成立. ………………………14分
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