丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习（一） 2015.3
高三数学（理科）
第一部分 （选择题 共40分）
选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1． 在复平面内，复数 对应的点的坐标为
(A)
(B)
(C)
(D)
2．在等比数列 中， ， ，则公比 等于
(A) -2 (B) 1或-2 (C) 1 (D)1或2
3．已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为
(A)
(B)
(C)
(D)
4．当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是
(A) 7 (B)10 (C) 11 (D) 16
5．在极坐标系中，曲线 与极轴交于A，B两点，则A，B两点间的距离等于
(A)
(B)
(C)
(D) 4
6．上图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是
(A) 4 (B) 5 (C)
(D)
7．将函数 图象向左平移 个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
(A)
(B)
(C)
(D)
8．如图所示，在平面直角坐标系 中，点 ， 分别在 轴和 轴非负半轴上，点 在第一象限，且 ， ，那么 ， 两点间距离的
(A) 最大值是 ，最小值是
(B) 最大值是 ，最小值是
(C) 最大值是 ，最小值是
(D) 最大值是 ，最小值是
第二部分 （非选择题 共110分）
一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．定积分 ____．
10．已知二项式 的展开式中各项二项式系数和是16，则n=____，展开式中的常数项是____．
11．若变量x，y满足约束条件 则 的最大值是____．
12．已知函数 是定义在R上的偶函数，当x≥0时， ，
如果函数 ( m∈R) 恰有4个零点，则m的取值范围
是____．
13．如图，AB是圆O的直径，CD与圆O相切于点D ，AB=8，BC=1，则
CD=____；AD=____．
14．已知平面上的点集 及点 ，在集合 内任取一点 ，线段 长度的最小值称为点 到集合 的距离，记作 ．如果集合 ，点 的坐标为 ，那么 ____；如果点集 所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集 所表示的图形的面积为____．
二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
已知函数 的最小正周期为 ．
（Ⅰ）求 的值及函数 的最大值和最小值；
（Ⅱ）求函数 的单调递增区间．
16. （本小题共13分）
甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250， C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：
若甲、乙都选C类车型的概率为 .
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；
（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：
车型 A B C
补贴金额（万元/辆） 3 4 5
记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．
17. （本小题共14分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形， 平面 ， // ，AB=PA=4，BE=2．
（Ⅰ）求证： //平面 ；
（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱 上是否存在一点 ，使得
平面 平面 ？如果存在，求 的值；
如果不存在，说明理由．
18.（本小题共13分）
设函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ；
（Ⅲ）当 时，求函数 在 上的最大值．
19.（本小题共14分）
已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点 是抛物线 的焦点．直线 ： 与椭圆 相交于 ， 两点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）如果 ，点 关于直线 的对称点 在 轴上，求 的值．
20.（本小题共13分）
如果数列 ： ， ，…， ，且 ，满足：① ， ； ② ，那么称数列 为“Ω”数列．
（Ⅰ）已知数列 ：-2，1，3，-1；数列 ：0，1，0，-1，1．试判断数列 ， 是否为“Ω”数列；
（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；
（Ⅲ）如果数列 是“Ω”数列，求证：数列 中必定存在若干项之和为0．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（一）
数 学（理科）参考答案
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C C B D C A
一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9． 10．4，24 11．6
12． 13．3， 14．1，
注：第10，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
二、解答题：
15.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）
．
因为 ， ，所以 ．
因为 ， ，
所以 ．
所以函数 的最大值为1，最小值为-1． ……………………8分
（Ⅱ）令 ，
得 ，
所以 ．
所以函数 的单调递增区间为 ， ．……………………13分
16.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）因为
所以 ， ． ……………………4分
（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，
则 ．
答：所以甲、乙选择不同车型的概率是 ． ……………………7分
（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．
， ，
； ．
所以X的分布列为：
X 7 8 9 10
P
……………………13分
17.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）设 中点为G，连结 ， ．
因为 // ，且 ， ，
所以 // 且 ，
所以四边形 为平行四边形．
所以 // ，且 ．
因为正方形 ，所以 // ， ，
所以 // ，且 ．
所以四边形 为平行四边形．
所以 // ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ． ……………………4分
（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则 ， ，
， ， ，
所以 ， ，
．
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ．
令 ，则 ，所以 ．
设 与平面 所成角为 ，
则 ．
所以 与平面 所成角的正弦值是 ． ……………………9分
（Ⅲ）依题意，可设 ，则 ， ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ．
令 ，则 ，
所以 ．
因为平面 平面 ，
所以 ，即 ，
所以 ， 点 ．
所以 ． ……………………14分
18.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）当 时， ， ，
所以 ．
因为 ，即切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 ． ……………………4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 ．
令 ，则 ．
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以当 时，函数最小值是 ．
命题得证． ……………………8分
（Ⅲ）因为 ，所以 ．
令 ，则 ．
当 时，设 ，因为 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以 在 恒成立，即 ．
所以当 ， ， 在 上单调递减；
当 ， ， 在 上单调递增．
所以 在 上的最大值等于 ，
因为 ， ，
不妨设 ( )，
所以 ．
由（Ⅱ）知 在 恒成立，
所以 在 上单调递增．
又因为 ，
所以 在 恒成立，即 ．
所以当 时， 在 上的最大值为 ． ……………………13分
19.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）抛物线 ，
所以焦点坐标为 ，即 ，
所以 ．
又因为 ，所以 ．
所以 ，
所以椭圆 的方程为 ． ……………………4分
（Ⅱ）设 ， ，因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ．
由 ，得 （判别式 ），
得 ， ，
即 ．
设 ， 则 中点坐标为 ，
因为 ， 关于直线 对称，
所以 的中点在直线 上，
所以 ，解得 ，即 ．
由于 ， 关于直线 对称，所以 ， 所在直线与直线 垂直，
所以 ，解得 ． ……………………14分
20.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）数列 不是“Ω”数列；数列 是“Ω”数列． ……………………2分
（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．
证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，
则由 得 ，与 矛盾，
所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列． ……………………7分
（Ⅲ）将数列 按以下方法重新排列：
设 为重新排列后所得数列的前n项和（ 且 ），
任取大于0的一项作为第一项，则满足 ，
假设当 时，
若 ，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证 ，
若 ，则剩下的项必有0或与 异号的一项，否则总和不是1，
所以取0或与 异号的一项作为第n项，可以保证 ．
如果按上述排列后存在 成立，那么命题得证；
否则 ， ，…， 这m个整数只能取值区间 内的非0整数，
因为区间 内的非0整数至多m-1个，所以必存在 ，
那么从第 项到第 项之和为 ，命题得证．
综上所述，数列 中必存在若干项之和为0． ……………………13分
点击下载：北京市丰台区2015年高三一模试题（数学理）
