2015年春期普通高中三年级第二次诊断测试
数 学（文史类）
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．
一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，若 ，则
（A） （B） （C） （D）
2. 为调查学生身高的情况，随机抽测了高三两个班120名学生的身高(单位：cm)，所得数据均在区间[140，190]上，其频率分布直方图如图所示（左下），则在抽测的120名学生中，身高位于区间[160，180）上的人数为
（A）70 （B）71 （C）72 （D）73
3. 抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是
（A） （B） （C） （D）
4. 某三棱锥的三视图如图所示（右上），则该三棱锥的体积是
（A） （B） （C） （D）
5. 设 ，则“ ”是“ ”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
6. 将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为
（A） （B） （C） （D）
7. 函数 的图象大致为
（A） （B） （C） （D）
8. 右图是用计算机随机模拟的方法估计概率 的程序框图， 表示估计结果，则输出 的近似值为
（A） （B） （C） （D）
9. 直线 与椭圆 ( )交于 、 两点， 为椭圆 的左焦点，且 . 若 ，则椭圆 的离心率的取值范围为
（A） （B）
（C） （D）
10．已知集合 ，若满足 的所有点 均在直线 的同侧，则实数 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡对应的题中横线上.
11. 已知 为虚数单位，则复数 的实部为 ▲ .
12. 在正项等比数列{ }中，若 ，则 … ▲ .
13. 在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ， 若 ， ，
且 ，则 的值为 ▲ .
14. 已知 ， ，点 满足 ，则 ▲ .
15. 如果 的定义域为 ，对于定义域内的任意 ，存在实数 使得 成立，则称此函数具有“ 性质”. 给出下列命题：
①函数 具有“ 性质”；
②若奇函数 具有“ 性质”，且 ，则 ；
③若函数 具有“ 性质”，图象关于点 成中心对称，且在 上单调递减，则 在 上单调递增；
④若不恒为零的函数 同时具有“ 性质”和“ 性质”，且函数 对 ，都有 成立，则函数 是周期函数.
其中正确的命题有 ▲ (写出所有正确命题的编号)．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内.
16.（本小题满分12分）
2015年央视3.15晚会中关注了4S店的小型汽车维修保养，公共wifi的安全性，网络购物等问题，某网站对上述三个问题进行了满意度的问卷调查，结果如下：
4S店的小型汽车维修保养 公共wifi的安全性 网络购物
满意 200人 400人 800人
不满意 400人 100人 400人
（I）在所有参与该问卷调查的人员中，用分层抽样的方法抽取 人，其中有8人不满意4S店的小型汽车维修保养，求 的值.
（II）在对参与网络购物满意度调查的人员中，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意选取2人，求恰有1人对网络购物满意的概率.
17.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系 中，以 轴非负半轴为始边的角 的终边与单位圆交于点 ，过点 作 轴的垂线与射线 交于点 ，
（I）若
（II）求 的最大值．
18.（本小题满分12分）
如图，四棱锥 中， 平面 ， 是边长为3的正三角形， ， .
（I）求证：平面 平面 ；
（II）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 . 若存在，求三棱锥 的体积；若不存在，请说明理由.（锥体体积公式： ，其中 为底面面积， 为高）
19.（本小题满分12分）
已知公差为 的等差数列 满足： ， ．
（I）求 、 ，以及数列 的通项公式；
（II）令 ， ，求数列 的前 项和 .
20.（本小题满分13分）
已知椭圆 经过 、 两点.
（I）求椭圆 的方程；
（II）过点 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 于另一点 ，交 轴于点 ，点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于点 . 求 的最小值.
21.（本小题满分14分）
已知函数 （ ， 为常数），且 在 处的切线方程为 .
（I）求 ， 的值；
（II）设函数 .
（i）求 的单调区间；
（ii）设 ， ，求证：当 时， .
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