2015年春期普通高中三年级第二次诊断考试
数 学（理工农医类）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 ， ，则
（A） （B） （C） （D）
2.在复平面内，复数 对应的点所在的象限是
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3.抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是
（A） （B） （C） （D）
4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是
（A） （B） （C） （D）
5.下列说法中正确的是
（A）命题“若 ，则 ”的逆命题是真命题
（B）命题 ， ,则 ，
（C）“ ”是“ ”成立的充分条件
（D）“ ”是“ ”成立的充分不必要条件
6.函数 的图象大致为
7.设 ，过定点 的动直线 与过定点 的
动直线 交于点 ，则 的
最大值为
（A） （B）
（C） （D）
8.右图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图,
表示估计结果,则输出 的近似值为
（A） （B）
（C） （D）
9.已知抛物线 ， 为坐标原点，过点
作直线 交抛物线于 两点.有如下命题：
① ②
③ ④ 周长的最小值为
则上述命题正确的是
（A）①② （B）①②③
（C）②③④ （D）①②③④
10.若方程 各个实根 ， ，…， （ ）所对应的点 ， ，…， 均在直线 的同侧，则实数 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效.
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．
11.在正项等比数列{ }中，若 ，则 … ▲ .
12.在 的展开式中， 的系数为 ▲ .
13.在 中, 角 、 、 所对的边分别是 ， ， ， 若 , , ，则 的值为 ▲ .
14.某学校高一、高二、高三三个年级学生人数分别为 人， 人， 人，用分层抽样的方法，从该校三个年级的学生中抽取 人，现将这 人分配到甲、乙两个工厂参观，要求每个工厂每个年级至少去一人，则共有 ▲ 种不同的分配方案（用数字作答）.
15.如果 的定义域为 ，对于定义域内的任意 ，存在实数 使得 成立，则称此函数具有“ 性质”. 给出下列命题：
①函数 具有“ 性质”；
②若奇函数 具有“ 性质”，且 ，则 ；
③若函数 具有“ 性质”， 图象关于点 成中心对称，且在 上单调递减，则 在 上单调递减,在 上单调递增；
④若不恒为零的函数 同时具有“ 性质”和 “ 性质”，且函数 对 ，都有 成立，则函数 是周期函数.
其中正确的是 ▲ (写出所有正确命题的编号)．
三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分12分）根据十八大的精神，全国在逐步推进教育教学制度改革，各高校自主招生在高考录取中所占的比例正在逐渐加大.对此，某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从 道备选试题中一次性抽取 道题，并独立完成所抽取的 道题，至少正确完成其中 道试题则可以进入面试.已知考生甲正确完成每道题的概率为 ,且每道题正确完成与否互不影响；考生乙能正确完成 道试题中的 道题，另外 道题不能完成.
求考生甲至少正确完成 道题的概率；
求考生乙能通过笔试进入面试的概率；
记所抽取的三道题中考生乙能正确完成的题数为 ，求 的分布列和数学期望.
17.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系 中，角 以 轴非
负半轴为始边，其终边与单位圆交于点 ，过点 作 轴的垂线与射线
交于点 ，其中
若
求 面积的最大值．
18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥 中， 是正三角形， 是等腰三角形， ， .
求证： ；
若 ， ，平面 平面 ，直线 与
平面 所成的角为 .
试判断在线段 是否存在点 ，使得 平面 ，并说明理由；
求二面角 的余弦值.
19.（本小题满分12分）已知公差为 的等差数列 满足： ．
求首项 和公差 ，并求数列 的通项公式；
令 ， ，求数列 的前 项和 .
20.（本小题满分13分）已知椭圆 的右焦点为 ，且点 在椭圆上，过点 且不垂直于 轴直线 与椭圆 相交于 、 两点.
求椭圆 的方程；
求 的取值范围；
若点 关于x轴的对称点是 ，证明：直线 过定点.
21.（本小题满分14分） 且 在 处切线方程为
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