丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习（一） 2015.3
高三数学（文科）
第一部分 （选择题 共40分）
选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 设集合U={1，2，3，4，5，6}， A={x∈N∣1≤x≤3}，则 =
(A) U (B) {1，2，3} (C) {4，5，6} (D) {1，3，4，5，6}
2.下列函数中，在区间 上存在最小值的是
(A)
(B)
(C)
(D)
3. 已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，且b α，那么“a⊥b”是“a⊥α”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
4．当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是
(A) 7 (B)10 (C) 11 (D) 16
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
(A) 48 (B) 32 (C) 16 (D)
6．将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
(A)
(B)
(C)
(D)
7．已知奇函数 如果 且 对应的图象如图所示，那么
(A)
(B)
(C)
(D)
8．在正方体 中， 为底面 上一动点，如果 到点 的距离等于 到直线 的距离，那么点 的轨迹所在的曲线是
(A) 直线 (B)圆 (C) 抛物线 (D) 椭圆
第二部分 （非选择题 共110分）
一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．复数 = ．
10．双曲线 的渐近线方程为 ．
11．若变量x，y满足约束条件 则 的最大值是 ．
12．在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，则 = ；若 ∥ ， 则 = ______．
13．某中学共有女生2000人，为了了解学生体质健康状况，随机抽取100名女生进行体质监测，将她们的体重（单位：kg）数据加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，则直方图中x的值为 ；试估计该校体重在 的女生有 人．
14．已知平面上的点集 及点 ，在集合 内任取一点 ，线段 长度的最小值称为点 到集合 的距离，记作 ．如果集合 ，点 的坐标为 ，那么 ；如果点集 所表示的图形是半径为2的圆，那么点集 所表示的图形的面积为 ．
二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的面积．
16.（本小题共13分）
已知等差数列 和等比数列 中， ， ， ．
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）如果 ，写出m，n的关系式 ，并求 ．
17.（本小题共13分）
某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R（单位：公里）分为3类，即A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：
类型 A B C
已行驶总里程不超过5万公里的车辆数 10 40 30
已行驶总里程超过5万公里的车辆数 20 20 20
（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，求该车行驶总里程超过5万公里的概率；
（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车．
（ⅰ）求n的值；
（ⅱ）如果从这n辆车中随机选取2辆车，求恰有1辆车行驶总里程超过5万公里的概率．
18.（本小题共14分）
如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， 为棱 中点. ， ， ．
（Ⅰ）求证： //平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）在棱 的上是否存在点 ，使得平面 ⊥平面 ？如果存在，求此时 的值；如果不存在，说明理由．
19.（本小题共14分）
已知椭圆C： 的右焦点为F．
（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；
（Ⅱ）直线l： 过点F，且与椭圆C交于 ， 两点，如果点 关于 轴的对称点为 ，判断直线 是否经过 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．
20.（本小题共13分）
已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）如果函数 在 上单调递减，求 的取值范围；
（Ⅲ）当 时，讨论函数 零点的个数．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（一）
数 学（文科）参考答案
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B C B A D A
一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．1-i 10． 11．6
12． ； 13．0.024；1000 14．2；
注：第12，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
二、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）在 中， ，且 ，
所以 ．
因为 ，且 ， ，
所以 ．
所以 ． ……………………6分
（Ⅱ）因为 ，
所以 ，
所以 或 （舍）．
所以 ． ……………………13分
16.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，则
．
解得 或 （舍）．
所以 ， ． ……………………6分
（Ⅱ）因为 ，
所以 ，即 ．
． ……………………13分
所以 ．
17.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，则该车行驶总里程超过5万公里的概率为
． ……………………3分
（Ⅱ）（ⅰ）依题意 ． ……………………6分
（ⅱ）5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆，记为A，B，C；
5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆，记为M，N．
“从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10种： AB，AC ，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN．
“从5辆车中随机选取2辆车，恰有一辆车行驶里程超过5万公里”的选法共6种： AM，AN，BM，BN，CM，CN．
设“选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里”为事件D，
则 ．
答：选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里的概率为 ．…………………13分
18.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）连结 交 于 ，连结 ．
在 中，因为 ， 分别为 ， 中点，
所以 // ．
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ． ……………………4分
（Ⅱ）因为侧棱 底面 ， 平面 ，
所以 ．
又因为 为棱 中点， ， 所以 ．
因为 ，所以 平面 ．
所以 ．
因为 为棱 中点， ，所以 ．
又因为 ，所以在 和 中， ．
所以 ，即 ．
所以 ．
因为 ，
所以 平面 ． ……………………10分
（Ⅲ）当点 为 中点时，即 ，平面 平面 ．
设 中点为 ，连结 ， ．
因为 ， 分别为 ， 中点，
所以 // ，且 ．
又因为 为 中点，
所以 // ，且 ．
所以 // ，
因为 平面 ，
所以 平面 ．
又因为 平面 ，所以平面 平面 ． ……………………14分
19.（本小题共14分）
解: （Ⅰ）因为椭圆C：
所以焦点 ，离心率 ……………………4分
（Ⅱ）直线l： 过点F，所以 ，所以l： ．
由 ，得 （依题意 ）．
设 ， ，
则 ， ．
因为点 关于 轴的对称点为 ，则 ．
所以，直线 的方程可以设为 ，
令 ，
．
所以直线 过 轴上定点 ． ……………………14分
20.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）当 时， ， ，
所以 ， ．
所以切线方程为 ． ……………………3分
（Ⅱ）因为 在 上单调递减，
等价于 在 恒成立，
变形得 恒成立，
而
（当且仅当 ，即 时，等号成立）．
所以 ． ……………………8分
（Ⅲ） ．
令 ，得 ．
↘ 极小值 ↗
所以 = ．
（ⅰ）当 时， ，所以 在定义域内无零点；
（ⅱ）当 时， ，所以 在定义域内有唯一的零点；
（ⅲ）当 时， ，
① 因为 ，所以 在增区间 内有唯一零点；
② ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 在减区间 内有唯一的零点．
所以 时 在定义域内有两个零点．
综上所述：当 时， 在定义域内无零点；
当 时， 在定义域内有唯一的零点；
当 时， 在定义域内有两个零点． ……………………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
点击下载：北京市丰台区2015年高三一模试题（数学文）
