江西省上饶市2015届高三第二次高考模拟
数学（理）试题
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第I卷时．选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效，
第I卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的一项。
1．定义运算(a，b)※((c，d) =ac－bd，则符合条件(z，1+2i)※(1+i，1－i)=0的复数z所对应的点在
A.第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
2．一算法的程序框图如图，若输出的y= ，则输入的x
的值可能为
A. －1 B.0
C．1 D．5
3．把函数 图象上所有点的横坐标伸长
为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数的图象向
右平移 个单位，得到图象的解析式为
A. y=5cosx B．y=5cos4x
C．y=－5 cosx D．y=－5 cos4x
4．已知直线a，b，平画 ，且a⊥ ， ，则“a⊥b”是“ ∥ ”的
A.充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．三个实数a、b、c成等比数列，若a+-b+c=l成立，则b的取值范围是
A．(0， ] B．[-1， ] c．[－ ，0) D．
6．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为
A(0，－1)，B( ，－1)，C（ ，1），D(0，1)，正弦曲线
和余弦曲线 在矩形ABCD
内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，
则该点落在阴影区域内的概率是
A． B．
C． D．
7．设 为非零向量， ，两组向量 和 均由2个 和2个 排列而成．若． 的所有可能取值中的最小值为 ，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
8．已知点E、F、G分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1、CC1、
DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、AG、BE-、C1B1上．以
M、N、Q、P为顶点的三棱锥P-MNQ的俯视图不可能是
9．对于任意的x∈R，不等式 恒成立．则实数a的取值范围是
A. a<2 B．a≤2 C．a≤3 D．a<3
10.已知O为坐标原点，向量 .若平面区域D由所有满足 的点C组成，则能够把区域D的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是
A． B. C． D．
11.已知双曲线 是实轴顶点，F是右焦点，B(0，b)是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i=1，2），使得△PiA1A2 (i=l，2)构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是
A． B． C． D．
12.斜率为k（k≠0）的两条直线分别切函数 的图象于A，B两点．若直线AB的方程为y=2x－l，则t十k的值为
A.8 B．7 C．6 D．5
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题第(21)题为必考题，每个考生都必须作答。第(22)
题第(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。
13.函数 ，的定义域是
14．正偶数列有一个有趣的现象：
①2+4=6 ②8+10 +12=14+16;
③18+20+22+24=26+28+30,…
按照这样的规律，则2016在第 个等式中。
15.若 ，对于 ，都有 成立，则m的最大值是
16.如图，A是两条平行直线 之间的一个定点，且A到 的距
离分别为AM=1，AN=2，设△ABC的另两个顶点B，C分别在
上运动，且AB<AC， ，则以下命题中．
①△ABC是直角三角形； ② 的最大值为 ；
③S代表图形面积，则(S四边形MBCN)min=(S△ABC)min+(S△AMB+S△ACN)min；
④设△AMB的周长为yl，△ACN酌周长为y2，则(y1+y2)min=10．
正确的命题是 。（填正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题1 2分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinC－ 。
(1)求角B；
(2)若b=7，求△ABC,的周长的最大值．
18.（本小题12分）江西省2014年全省高中男生身
高统计调查数据显示：全省100000名男生的身
高服从正态分布N(170.5，16).现从我校高三年
级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被
测学生身高全部介于157. 5cm和187.5 cm之
间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组
[157.5，162.5)，第二组[162.5，167.5），…，第6
组[182.5，187.5]，下图是按上述分组方法得到
的频率分布直方图．
(1)试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；
(2)求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数；
(3)在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（以高到低）在全省前130名的人数记为 ，求 的数学期望．
参考数据：
若
19.（本小题12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面
ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
(1)求证：AC⊥平面BDE;
(2)求二面角F- BE-D的余弦值；
20.（本小题12分）如图，已知点S(-2，0)和圆 是圆O的直经，从左到右M、()和N依次是ST的四等分点，P(异于S、T)是圆O上的动点，PD⊥ST，交ST于D， ，直线PS与TE交于C，|CM|+|CN|为定值．
(1)求 的值及点C的轨迹曲线E的方程；
(2)设n是过原点的直线， 是与n垂直相交于Q点、与
轨迹E相交于A，B两点的直线， ，是否存
在上述直线 ，使 成立？
若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由。
21.（本小题12分）已知二次函数 ，关于x的不等式 的解集为(m，m+1)，m≠0)，设 ．
(1)求“的值；
(2)k（k∈R）如何取值时，函数 存在极值点，并求出极值点；
(3)着rn=l，且x>0，求证： ．
请考生在第22、23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题10分）选修4-4:参数方程选讲
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴。已知曲线C1的极坐标方程为 ，曲线C2的极坐标方程为 ，射线 与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D。
（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求“的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；
（2）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值
23．（本小题10分）选修4-5:不等式选讲
设函数 的最小值为，”
（2）当 时，求a2+b2+c2的最小值．
参考答案
一、选择题：1~5 ：ACCBD，6～10：BACDA ， 11~12 ：DB
二、填空题：13、 14、31 15、8 16、①②④
三、解答题：
17、解：（1） 因为 …………2分
， …………………………6分
（2）由 ,得 ，……………7分
，
周长的最大值为21……………………………………12分
18、解析：（Ⅰ）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为
高于全省的平均值170.5 ……4分
（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人数为10人. ……………6分
（Ⅲ） ，
，0.0013×100 000=130.
所以，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人.
随机变量 可取 ，于是
, ,
. ………………………………12分
19、解析：(1)证明： 因为 平面 ， 所以 . ……………3分
因为 是正方形，所以 ，又 相交从而 平面 . …………6分
(2)解：因为 两两垂直，所以建立空间直角坐标系 如图所示.因为 与平面 所成角为 ，即 ，
所以 .由 可知 ， . …8分
则 ， ， ， ， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，则 .
因为 平面 ，所以 为平面 的法向量， ，
所以 .
因为二面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 . ………12分
20、解析：(1)易得 ， ， ，设 ，则 ，
直线PS与TE交于C，故 ， ① 且 ，② 。 ……2分
①②相乘得 ，又点P是圆O上的动点，故 即 ，4分
要使 为定值，则 解得 此时
即 时，点C的轨迹曲线E的方程为 …………6分
（2）设A，B两点的坐标分别为 ，假设使 成立的直线 存在，
（ⅰ）当 不垂直于x轴时，设 的方程为 ，
由 与 垂直相交于Q点且| |=1.得 ，即 …………7分
∵ ∴
即 ，将 代入椭圆方程，得
由求根公式可得 ， ④ ⑤
=
=
将④，⑤代入上式并化简得 ⑥
将 代入⑥并化简得 ，矛盾 即此时直线 不存在 …………10分
（ⅱ）当 垂直于x轴时，满足 的直线 的方程为x=1或x=-1，
当X=1时，A,B,Q的坐标分别为 ，∴ ，
∴ 当x=-1时，同理可得 ，矛盾 即此时直线 也不存在
综上可知，使 成立的直线 不存在. …………12分
21、（1）解：∵关于 的不等式 的解集为 ，
等价于 的解为 ，
∴ . ∴ . …………3分
（2）解:由（Ⅰ）得 .
∴ 的定义域为 .由 .
由题意，函数 存在极值点等价于函数 有两个不等的零点，且至少有一个零点在 上. 令 ,
得 , (*)
则 ,(**)
方程（*）的两个实根为 , .
①当 时， ，方程（*）的两个实根为
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
∴函数 有极小值点 .
②当 时，由 ,得 或 ，
若 ，则
故 时， ，∴函数 在 上单调递增. 函数 没有极值点.
若 时，
∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
∴函数 有极小值点 ，有极大值点 .
综上所述, 当 时， 取任意实数, 函数 有极小值点 ；
当 时， ，函数 有极小值点 ，有极大值点 .
(其中 , ) …………8分
（3）证法1：∵ ， ∴ .
∴
.
令 ，∵ ，
.
∴ ，即 . …………12分
证法2：用数学归纳法证明不等式 .
① 当 时，左边 ，右边 ，不等式成立；
② 假设当 N 时，不等式成立，即 ，
则
. …………12分
也就是说，当 时，不等式也成立. 由①②可得，对 N ，
22、解：（1） ： ， ： ，
曲线 关于曲线 对称， ， ：
（2） ；
，
23、解析：（1）f(x)＝－ 3 2x－1 ，x＜－2，－ 1 2x＋1，－2≤x≤0， 3 2x＋1，x＞0．
当x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，
所以当x＝0时，f(x)的最小值m＝1． ………5分
(2) 由柯西不等式 ，
故 ，当且仅当 时取等号. …………10分
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