2014学年度第二学期十二校联考
高三数学试卷（理）
命题人 朱松德 上海市莘庄中学 审卷人 赵善华 周浦高级中学
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1.设集合 ，则 =________.
2.若函数 的反函数为 ，则 ________.
3.椭圆 的焦距为 .
4.在 的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数 .
5.极坐标系内， 为极点，设点 ，则三角形 的面积为 .
6.若圆锥的全面积为底面积的3倍，则该圆锥母线与底面所成角大小为 .
7.若复数 （ 为虚数单位， ）在复平面上的对应点在直线 上，则 ．
8.已知各项均为正数的等比数列 的首项 ，公比为 ，前n项和为 ，若 ，则公比为 的取值范围是 .
9.函数 的一个对称轴方程为 ，则直线 的倾斜角为 .
10.小李同学在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，则他在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率为 .（用最简分数表示）
11．小李同学今年寒假共抢得了九个红包，其中每个红包里有且仅有一个数字（单位为元），他将这九个数字组成如图所示的数阵,发现每行的三个数依次成等差数列,每列的三个数也依次成等差数列.若 ,则小李同学一共抢了 元的红包.
12.对于实数 ，定义一种运算“*”为： ．若函数 有两个不同的零点，则满足条件的实数a的取值范围是 ．
13.设 是函数 （ ）的图像上任意一点，过点 分别向直线 和 轴作垂线，垂足分别为 ，则 的值是 ．
14.设函数 由方程 确定，下列结论正确的是 .（请将你认为正确的序号都填上）
(1) 是 上的单调递增函数；
(2)不等式 的解集为 ；
(3)方程 恒有两解；
(4) 存在反函数 ，且反函数 由方程 确定.
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15. “ ”是“函数 的最小正周期为 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．已知直线 ，点 在圆 外，则直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D． 不能确定
17.在棱长为1的正四面体 中，定义 ， ，则 中的元素个数为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
18.设 为两个非零向量 的夹角，已知对任意实数 , 的最小值为1. （ ）
A．若 确定，则 唯一确定 B．若 确定，则 唯一确定
C． 若 确定，则 唯一确定 D．若 确定，则 唯一确定
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
如图，从棱长为6 的正方体铁皮箱 中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形.
（1）记 的中点为 ，求异面直线 与 所成角的大小；
（2）如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少 体积的水.
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设向量 .
（1）设 ，当 时，求 的取值范围；
（2）构建两个集合 ， ，若集合 ，求满足条件的 的值.
21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
某地拟模仿图(1)建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图(2)所示：曲线 是以点 为圆心的圆的一部分，其中 （ ，单位：米）；曲线 是抛物线 的一部分； ，且 恰好等于圆 的半径.
(1) 若要求 米， 米，求 与 值；
(2) 若要求体育馆侧面的最大宽度 不超过 米，求 的取值范围.
22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
在平面直角坐标系 中，对于直线 和点 ，若 ，垂足为 ，且 ，则称点 关于直线 成“ 对称”. 若曲线 上存在点 关于直线 成“ 对称”，则称曲线 为“ 对称曲线”.
（1）设 ，若点 关于直线 成“ 对称”，求直线 的方程；
（2）设直线 ，判断双曲线 是否为“ 对称曲线”？请说明理由；
（3）设直线 ，且抛物线 为“ 对称曲线”，求实数 的取值范围.
23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
若函数 ，数列 的前 项和为 ，满足 .
（1）若数列 为递增数列，求实数 的取值范围；
（2）当 时,设数列 满足: ，记 的前 项和 ,求满足不等式 的最小整数 ；
（3）当函数 为偶函数时，对任意给定的 （ ），是否存在自然数 （ ）使 成等差数列？若不存在，说明理由；若存在，请找出 与 的一组关系式.
2014学年度第二学期十二校联考
高三数学试卷（理）参考答案
一．填空题（本大题共有14题，满分56分）
1． ； 2． ； 3． ； 4． ；5.6； 6． ； 7． ；8． ；9． ；
10． ； 11． ； 12． ； 13． ； 14．（1）（2）（4）；
二、选择题(本大题共有4题，满分20分)
15．A; 16．A; 17．B; 18．B;
三．解答题（共5大题，总分74分）
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
（1）取 的中点 ，连 ，则 为所求的角 …………… 2分
在 中，易知： .
…………… 5分
从而异面直线 与 所成角的大小为 …………… 6分
（2）最多能盛多少水，实际上是求三棱锥 的体积 …………… 9分
（ ）
用图示中这样一个装置来盛水，则最多能盛36 体积的水.…………… 12分
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
（1）
…………… 3分
由 ……………6分
（2） 或 …………… 10分
当 …………… 12分
当
综上，满足条件的实数 …………… 14分
21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
（1）因为 ，解得 . …………… 2分
此时圆 ，令 ，得 ，
所以 ，
将点 代入 中，解得 . ………… 6分
（2）因为圆 的半径为 ，所以 ，在 中令 ，得 ，则由题意知 对 恒成立，………… 8分
所以 恒成立，
而，当 ，即 时，
由 ( )递减,可知：
当 取最小值 ， ………… 12分
故 ，解得 . ………… 14分
22.(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
（1）由题意： ………… 1分
设 ，由 ………… 3分
所以直线 ，
即所求直线 ………… 4分
（2）双曲线 不是为“ 对称曲线” ………… 6分
事实上，双曲线 的两条渐近线分别为 ， ，它们互相垂直，
直线 与其中渐近线 平行，所以双曲线 上不可能存在两点 ，更别说满足 ………… 8分
（3）因为抛物线 为“ 对称曲线”，所以存在点
设直线 ，由
其中 ， ………… 10分
且
又由 代入 得
………… 12分
由 得 ………… 14分
由 得
即所求实数 的范围为 ………… 16分
23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
（1）由题意得： ………… 1分
从而， ………… 4分
当 时，数列 显然递增，只要 即可，
………… 6分
（2）当 时， ………… 7分
………… 8分
………… 10分
解不等式 可得
所以，满足条件的最小整数为6 ………… 12分
（3）当 为偶函数时， ，
此时， ， ………… 13分
当 时，不存在满足条件的
事实上，由 ，由 ，矛盾； … 14分
当 时，存在无数组满足条件的
如 时，可找到 ，使得 成等差数列 ………… 15分
更一般地，对任意给定的 （ ）设 ，由 得
，令 即可，此时，取
，
，
即对任意给定的 （ ），存在 ，使 成等差数列. ………… 18分
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