山东省济南市2015届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题
第I卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
2.若 （i为虚数单位），则z的共轭复数是
A. B. C. D.
3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；
④垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
4.“ ”是“ ”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.执行如图所示的程序框图，输出的k值为
A.7 B.9
C.11 D.13
6.某餐厅的原料费支出 与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为 ，则表中的m的值为
A.50 B.55 C.60 D.65
7.已知 是双曲线 的两个焦点，以 为直径的圆与双曲线一个交点是P，且 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是
A. B.
C.2 D.5
8.在椭圆 内，通过点 且被这点平分的弦所在的直线方程为
A. B.
C. D.
9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有
A.48种 B.72种
C.96种 D.108种
10.若至少存在一个 ，使得关于 的不等式 成立，则实数m的取值范围为
A. B.
C. D.
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.
11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在 中的学生人数是_________.
12.函数 的定义域是_________.
13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为 的扇形，则该几何体的体积为__________.
14.设 是单位向量，且 的最大值为________.
15.设函数 的定义域为R，若存在常数 对一切实数 均成立，则称 为“条件约束函数”.现给出下列函数：
① ；② ；③ ；
④ 是定义在实数集R上的奇函数，且对一切 均有 .其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.（本小题满分12分）
在 中，边a,b,c的对角分别为A,B,C；且 ，面积 .
（I）求a的值；
（II）设 ，将 图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）得到 的图象，求 的单调增区间.
17. （本小题满分12分）
某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中3人答对的概率分别为 ， ， ，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用 表示乙队的总得分.
（I）求 的分布列和数学期望；
（II）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.
18. （本小题满分12分）
直三棱柱 中， ， ，点D在线段AB上.
（I）若 平面 ，确定D点的位置并证明；
（II）当 时，求二面角 的余弦值.
19. （本小题满分12分）
已知数列 满足 ，
（I）证明：数列 是等比数列，并求出 的通项公式；
（II）设数列 满足 ，证明：对一切正整数 .
20. （本小题满分13分）
已知抛物C的标准方程为 ，M为抛物线C上一动点， 为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时， 的面积为 .
（I）求抛物线C的标准方程；
（II）记 ，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.
21. （本小题满分14分）
已知关于 函数 ，
（I）试求函数 的单调区间；
（II）若 在区间 内有极值，试求a的取值范围；
（III） 时，若 有唯一的零点 ，试求 .
（注： 为取整函数，表示不超过 的最大整数，如 ；以下数据供参考： ）
又∵ ∴ ……6分
∴ ，………… 8分
将 图象上所有点的横坐标变为原来的 ，得到 ，…………9分
所以 的单调增区间为 …………10分
即 …………11分
的单调区间为 …………12分
（17）解：（Ⅰ）由题意知， 的所有可能取值为0，10，20，30．…………1分
的分布列为：
0 10 20 30
…………6分
所以 AC1∥平面B1CD． ………………………………………4分
（Ⅱ） 由 ，得AC⊥BC，
以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．
则B(6, 0, 0)，A (0, 8, 0)，A1(0, 8,8)，B1(6, 0, 8)．
设D(a, b, 0)（ ， ），…………………5分
因为 点D在线段AB上，且 ， 即 ．
所以 ．…………………7分
所以 ， ．
平面BCD的法向量为 ．
设平面B1CD的法向量为 ，
由 ， ， 得 ，
所以 ， ． …………………10分
设二面角 的大小为 ， ．
所以二面角 的余弦值为 ．……………………………12分
（19）解： 由 ，可得 …………2分
是首项为2，公比为2的等比数列，
即 …………3分
（20）(I)由题意,
抛物线C的方程为 ---------------------------------------------------------------------3分
(II) 设 ,直线MN的方程为
联立
得
, ,-----------------------------------------------------------------6分
由对称性,不妨设 ,
(i) 时, , 同号,
又
不论a取何值,t均与m有关,即 时A不是“稳定点”; -------------------------9分
(ii) 时, , 异号,
又
所以,仅当 ,即 时,t与m无关,此时A即抛物线C的焦点,即抛物线C对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”. ------------------------------------------------------------13分
（21）解：（I）由题意 的定义域为
（i）若 ，则 在 上恒成立， 为其单调递减区间；
（ii）若 ，则由 得 ，
时， ， 时， ，
所以 为其单调递减区间； 为其单调递增区间；-----------------------4分
（II）
所以 的定义域也为 ，且
令 (*)
则 (**)----------------------------------------------------------------------------6分
时, 恒成立,所以 为 上的单调递增函数，又 ，所以在区间 内 至少存在一个变号零点 ，且 也是 的变号零点，此时 在区间 内有极值. ----------------------------------------8分
时 ,即在区间(0,1)上 恒成立,此时, 无极值.
综上所述,若 在区间 内有极值，则a的取值范围为 . --------------9分
(III) ,由（II）且 知 时 , .
又由(*)及(**)式知 在区间 上只有一个极小值点,记为 , 且 时 单调递减, 时 单调递增,由题意 即为 ,
-----------------------------------------------------------------------------------------11分
消去a,得 -------------------------------------------------------------------12分
时令 ,
则在区间 上为 单调递增函数, 为单调递减函数,
且
------------------------------------------------------------------------------------------14分
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