2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）
数 学(理)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题 (共40分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
参考公式：
•如果事件 、 互斥，那么
柱体的体积公式 . 其中 表示柱体的底面积, 表示柱体的高.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数 满足 ,则 =
2.已知实数 满足约束条件 ,则 的最大值为
A． B． C． D．
3.若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是 , 则输入的 的值
可以等于 A. B. C. D.
4.一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．
则该四棱锥的体积等于
A. B． C． D．
5.已知双曲线 的左顶点与抛物线 的焦点的距离
为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ，则双曲线的焦距为
A． B． C． D．
6.数列 满足 ，且对于任意的 都有 则 等于 A． B． C． D．
7.已知以下4个命题:
①若 为真命题，则 为真命题
②若 则
③设 ，则 是 成立的充分不必要条件
④若关于实数 的不等式 无解，则实数 的取值范围是 .
其中,正确命题的个数是
A. B. C. D.
8．定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）
数 学(理)
第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.
9.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 的样本，若从初中生中抽取了30人，则 的值等于 .
10. 已知 ，在二项式 的展开式中，含 的项的系数为 .
11. 已知 中, ， ，
，则 .
12. 如图, 是圆 的内接三角形， 是圆 的切线， 为切点，
交 于点 ，交圆 于点 ，若 ， ，
且 ， ，则 ＝______.
13．在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲
线 的极坐标方程为 , 曲线 的参数方程为
（ 为参数）. 若曲线 与 相交于 两点，则线段 的长等于 .
14. 已知 为 的外心， 若 ，
则 的最小值为 ．
三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数
(Ⅰ)求函数 的最小正周期与单调递减区间；
(Ⅱ)求函数 在区间 上的最大值和最小值．
16．（本小题满分13分）
某银行招聘，设置了 、 、 三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加 组测试，丙独自参加 组测试，丁、戊两人各自独立参加 组测试．若甲、乙两人各自通过 组测试的概率均为 ；丙通过 组测试的概率为 ；而 组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.
（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.
（Ⅱ）记 、 两组通过测试的总人数为 ，求 的分布列和期望.
17．（本小题满分13分）
如图，三棱柱 中， ⊥面 ，
， ， 为 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱 上是否存在点 ，使得
？请证明你的结论.
18．（本小题满分13分）
已知椭圆 的左、右顶点分别为 , ，右焦点为 ，直线 是椭圆 在点 处的切线. 设点 是椭圆 上异于 ， 的动点，直线 与直线 的交点为 ，且当 时， 是等腰三角形.
（Ⅰ）求椭圆 的离心率；
（Ⅱ）设椭圆 的长轴长等于 ，当点 运动时，试判
断以 为直径的圆与直线 的位置关系，并加以证明．
19．（本小题满分14分）
设数列 ， ，已知 ， ， ， （ ）．
（Ⅰ）设 ,求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任意 ， 为定值；
（Ⅲ）设 为数列 的前 项和，若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知函数 ， ， 图象与 轴异于原点的交点为 ， 在 处的切线与直线 平行.
(Ⅰ)求函数 的单调区间；
(Ⅱ)已知实数t∈R，求函数 的最小值；
(Ⅲ）令 ，给定 ，对于两个大于1的正数 ，
存在实数 满足： ， ，并且使得不等式
恒成立，求实数 的取值范围.
2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）
数学理科参考答案
一、选择题:每小题5分，满分40分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B A A C B A
二、填空题: 每小题5分，共30分.
9．100 ； 10． ； 11． ； 12． ； 13．8； 14．
三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）已知函数
(Ⅰ)求函数 的最小正周期与单调递减区间；
(Ⅱ) 求函数 在区间 上的最大值和最小值．
15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） ……1分
…………2分
…………4分
∴ 的最小正周期 ……………5分
由 得
∴ 的单调递减区间为 ……………7分
（Ⅱ）由 得 ………9分
故 ………11分
所以 ………12分
因此, 的最大为 , 最小值是2 ……13分
解法二: 在区间 上单调递增; 在区间 上单调递减………11分
又
所以 的最大为 , 最小值是2 ………13分
16．（本小题满分13分）
某银行招聘，设置了 、 、 三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加 组测试，丙独自参加 组测试，丁、戊两人各自独立参加 组测试．若甲、乙两人各自通过 组测试的概率均为 ；丙通过 组测试的概率为 ；而 组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少 答对3题者就竞聘成功. 但丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.
（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.
（Ⅱ）记 、 两组通过测试的总人数为 ，求 的分布列和期望.
16.解：（Ⅰ）设参加 组测试的每个人竞聘成功为A事件，则
…………3分
故丁、戊都竞聘成功的概率等于 …………5分
（Ⅱ） 可取0，1，2，3， …………6分
，
，
，
， （每个结果各1分） …………10分
0 1 2 3
P
故 的分布列为：
…………11分
所以 …………13分
17．（本小题满分13分）如图，三棱柱
中， ⊥面 ， ，
， 为 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱 上是否存在点 ，使得
？请证明你的结论.
17.（本小题满分13分）
解法一: （Ⅰ）证明：依题可建立如图的空间直角坐标系 ，………1分
则C1（0，0，0），B（0，3，2），B1（0，0，2），
C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）， ………2分
设 是面BDC1的一个法向量，则
即 ，取 . …………4分
又 ,所以 ,即
∵AB¬1 面BDC¬1，∴AB1//面BDC1． …………6分
（Ⅱ）易知 是面ABC的一个法向量. …………7分
. …………8分
∴二面角C1—BD—C的余弦值为 . …………9分
（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.
设P（2，y，0）（0≤y≤3），则 ， …………10分
则 ，即 . …………11分
解之 ∴方程组无解. …………12分
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1. …………13分
解法二: （Ⅰ）证明：连接B1C,与BC1相交于O，连接OD．
∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点． …………1分
又D是AC的中点，∴OD//AB1． …………2分
∵AB¬1 面BDC¬1，OD 面BDC1，∴AB1//面BDC1． …………4分
（Ⅱ）解 ， ， ………5分
设 是面BDC1的一个法向量，则
即 ，取 . …………6分
易知 是面ABC的一个法向量. …………7分
. …………8分
∴二面角C1—BD—C的余弦值为 . …………9分
（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.
设P（2，y，0）（0≤y≤3），则 ， …………10分
则 ，即 . …………11分
解之 ∴方程组无解. …………12分
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1. …………13分
18．（本小题满分13分）已知椭圆 的左、右顶点分别为 , ，右焦点为 ，直线 是椭圆 在点 处的切线. 设点 是椭圆 上异于 ， 的动点，直线 与直线 的交点为 ，且当 时， 是等腰三角形.
（Ⅰ）求椭圆 的离心率；
（Ⅱ）设椭圆 的长轴长等于 ，当点 运动时，试判断以 为直径的圆与直线 的位置关系，并加以证明．
18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）依题可知 、 ， ………1分
由 ，得， ， ………2分
化简得 ， ………3分
故椭圆 的离心率是 ………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及椭圆 的长轴长等于 得，
椭圆 的方程为 ，且 ,
在点 处的切线方程为 . 以 为直径的圆与直线 相切． ……5分
证明如下：由题意可设直线 的方程为 .
则点 坐标为 ， 中点 的坐标为 ．
由 得 ．…………………7分
设点 的坐标为 ，则 ．
所以 ， ． …………………9分
因为点 坐标为 ，
（1）当 时，点 的坐标为 ，直线 的方程 为 ，
点 的坐标为 .此时以 为直径的圆 与直线 相切…10分
（2）当 时，直线 的斜率 .
所以直线 的方程为 ,即 ．
故点 到直线 的距离 ………12分
(算法二: 或直线 的方程为 ,
故点 到直线 的距离 …12分)
又因为 ，故以 为直径的圆与直线 相切．
综上得，当直线 绕点 转动时，以 为直径的圆与直线 相切．……13分
解法二: 由（Ⅰ）及椭圆 的长轴长等于 得，
椭圆 的方程为 ，且 ,
在点 处的切线方程为 . 以 为直径的圆与直线 相切． ……5分
证明如下: 设点 ,则
(1)当 时,点点 的坐标为 ，直线 的方程为 ， ……6分
点 的坐标为 .此时以 为直径的圆 与直线 相切…7分
(2)当 时直线 的方程为 , …8分
点的坐标为 , 中点 的坐标为 ,故 …9分
直线 的斜率为 ,
故直线 的方程为 ,即 ,………10分
所以点 到直线 的距离 ………12分
故以 为直径的圆与直线 相切．
综上得，当直线 绕点 转动时，以 为直径的圆与直线 相切．………13分
19．（本小题满分14分）设数列 ， ，已知 ， ， ， （ ）． （Ⅰ）设 ,求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任意 ， 为定值；
（Ⅲ）设 为数列 的前 项和，若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围．
19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）所以 ， ，
,即 ， ……………………2分
又 , 故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ． …………………………………………………4分
（Ⅱ）解： ，
所以 ，………………………………6分
而 ，所以由上述递推关系可得，当 时， 恒成立，
即 恒为定值8． ……………………8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知 ，所以 ，…9分
所以 ， ……………10分
所以 ，
由 得 ，
因为 ，所以 ， ………………11分
当 为奇数时， 随 的增大而增大，且 ，
当 为偶数时， 随 的增大而减小，且 ，
所以， 的最大值为 ， 的最小值为 ．……………13分
由 ，得 ，解得 ．
所以，所求实数 的取值范围是 ．……………………………………14分
20．（本小题满分14分）已知函数 ， ， 图象与 轴异于原点的交点 处的切线与直线 平行.
(Ⅰ)求函数 的单调区间；
(Ⅱ)已知实数t∈R，求函数 的最小值；
(Ⅲ）令 ，给定 ，对于两个大于1的正数 ，存在实数 满足： ， ，并且使得不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
20. （本小题满分14分）
(Ⅰ)解:点 ， ，由题意可得 ，故 ，……1分
∴ ， ……………2分
令 ，得 的增区间是 ； ………………3分
令 ，得 的减区间是 ； ……………4分
(Ⅱ)解法一：令 ，（ ），
则 ， …………………………5分
∴ 在 单调递增，故当 时， ……………6分
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
故可分以下种情形讨论
（1）当 即 时 在 上单减，
所以 的最小值是 ………………7分
（2）当 即 时 的最小值是 ，…8分
（3）当 时 在 上单增，
所以 的最小值是 ………9分
解法二： = …5分
令 ，在 时， ，
∴ 在 单调递增， ……………6分
图象的对称轴 ，抛物线开口向上
①当 即 时， ……………7分
②当 即 时， ………8分
③当 即 时，
……………9分
（Ⅲ）
所以 在区间 上单调递增 ……………………10分
∴ 时， ,注意到
①当 时，有 ，
，
得 ，同理 ， …………………11分
∴ 由 的单调性知 ,
从而有 ，符合题设. …………12分
②当 时， ，
，
由 的单调性知 ，
∴ ，与题设不符 ………………13分
③当 时，同理可得 ，
得 ，与题设不符.
∴综合①、②、③得 ………………14分
说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.
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