2015年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（一）
数 学（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
祝各位考生考试顺利！
第I卷（选择题，共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
参考公式：
锥体的体积公式 . 其中 表示锥体的底面积, 表示锥体的高.
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个是正确的）
1． 为虚数单位,复数 = （ )
A. B. C. D.
2．已知实数 满足约束条件 ，则 的最小值是 （ )
A． B． C． D．
3．阅读右面的程序的框图，则输出 ＝（ ）
A． B． C． D．
4．设 则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列四个命题
①已知命题 ： ，则 ： ；
② 的零点所在的区间是 ；
③若实数 满足 ，则 的最小值为 ；
④设 是两条直线， 是两个平面，则 是 的充分条件；
其中真命题的个数为( )
A． B. C. D.
6. 将 的图像上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图像上所有点向左平移 个单位，则所得函数图像的一条对称轴为（ )
A． B. C. D.
7．已知双曲线 与抛物线 有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点 ，则双曲线的离心率为( )
A． B. C. D.
8．定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.
9. 已知集合 ， ，则 ．
10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 ．
(第10题图) (第13题图)
11. 已知等差数列 的公差为 ，若 是 的等比中项，则数列 的前 项和为 ．
12. 已知直线 与圆 相交于 两点，若 ，则 的值是 ．
13. 如图 是圆 的内接三角形， 是圆 的切线， 为切点， 交 于点 ，交圆 于点 ，若 ， ，且 ， ，则 ．
14. 已知平行四边形 中， ， , ， 为 边上一点，且 ，若 与 交于点 ，则 ．
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
某学校的三个学生社团人数分布如下表（每名学生只能参加一个社团）：
围棋社 舞蹈社 相声社
男生 5 10 28
女生 15 30
学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取 人，结果相声社被抽出了 人.
（Ⅰ）求相声社女生有多少人；
（Ⅱ）已知三个社团各有社长两名，且均为一名男生一名女生，现从 名社长中随机选出 名（每人被选到的可能性相同）.
①用恰当字母列举出所有可能的结果；
②设 为事件“选出的 人来自不同社团且恰有 名男社长和 名女社长”，求事件 发生的概率.
16．（本小题满分13分）
在 中，内角 所对的边分别为 ， ， ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．
17.(本小题满分13分）
如图，三棱柱 中， 平面 ， ， ．以 ， 为邻边作平行四边形 ，连接 和 ．
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）若二面角 为 ，
①证明：平面 平面 ；
②求直线 与平面 所成角的正切值．
18.（本小题满分13分）
若数列 的前 项和为 ，对任意正整数 都有 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 ，求数列 的前 项和 ．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ，过点 作垂直于 轴的直线交该椭圆于 两点，直线 的斜率为 ．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若 的外接圆在 处的切线与椭圆相交所得弦长为 ，求椭圆方程．
20．（本小题满分14分）
已知函数 ( ，其中 为实数).
（Ⅰ）当 时,求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时,若 在区间 上的最小值为 ,求 的取值范围；
（III）若 时，令 ，
给定 ，对于两个大于1的正数 ，存在实数 满足：
， ，并且使得不等式
恒成立，求实数 的取值范围.
2015年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（一）
数学试卷（文科） 评分标准
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B D C A B A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9． ； 10． ； 11．30； 12． ； 13． ； 14．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
15.解：（Ⅰ）由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，相声社被抽出了6人
------------3分
------------4分
（Ⅱ）设3个社团的男社长依次为 ，3个社团的女社长依次为
-----------5分
从6名社长中随机选出2名所有可能结果为：
， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， 共15种 ------------9分
所含基本事件为： 共6种， ----------11分
------------13分
16．
（Ⅰ）解：在 中， ，
------------2分
根据 ，得 ------------4分
根据 ，以及 ， 可得
，解得 （舍） ------------6分
（Ⅱ）由于 ，知 为锐角。 ------------7分
所以 ------------8分
从而 ------------9分
------------10分
------------11分
------------13分
17、（Ⅰ）证明：连结 ， 三棱柱 中 且 ，
由平行四边形 得 且 ， 且
四边形 为平行四边形， ------------1分
平 ， ------------ 2分
平面 ------------3分
（Ⅱ）①取 的中点O，连接 ，在平行四边形 中 ，又 ，
所以
是 中点，所以 ⑴
平面 ， 平面
，又
所以 ， 是 中点，
所以 ⑵
由⑴，⑵可知 是二面角 的平面角，即 , ------------5分
所以在 中 ，平行四边形 中
所以在等腰三角形 中 ，所以 ------------6分
平面 ， 平面
又 , ------------7分
所以 平面
三棱柱三棱柱 中
------------8分
平面 ， 平面 平面 ------------9分
②过A作 于M， ------------10分
平面 平面 , 又平面 平面 ，
平面 ， ------------11 分
是 在平面 上的射影， 是 与平面 所成角，-----12分
在 中， , -----13分
18、解：
（Ⅰ）由 ，得 ，解得 ． ------------1分
由 ……①，
当 时， ------------2分
有 ……②， ------------3分
①－②得： ， ------------4分
数列 是（首项 ，公比 的）等比数列 ------------5分
， ------------6分
（Ⅱ）由（1） 知． ------------7分
------------8分
所以 ------------9分
当 为偶数时，
------------10分
------------11分
当 为奇数时，
------------12分
所以 ------------13分
19、（Ⅰ）解：(1)由题意 -------------1分
因为 ，所以 -------------2分
将 代入上式并整理得 （或 ）----------3分
所以 ------------4分
（Ⅱ）由（1）得 ， （或 ） ------------5分
所以 ，外接圆圆心设为
由 ，得 ------------6分
解得： ------------7分
所以 ------------8分
所以 外接圆在 处切线斜率为 ,设该切线与椭圆另一交点为
则切线 方程为 ，即 ------------9分
与椭圆方程 联立得 ------------10分
解得 ------------11分
由弦长公式
得 ------------12分
解得 ------------13分
所以椭圆方程为 ------------14分
20．解：
（Ⅰ）当 时， . ------------1分
因为 . ------------2分
所以切线方程是 ------------3分
（Ⅱ） ---------4分
因为 ，故令 ，得 或 . ------------5分
（1）当 ，即 时， 在［1，e]上单调递增，
所以 在［1，e]上的最小值是 ，适合题意； ------------6分
（2）当 时，在 上 ， 单调递减，在 上 ， 单调递增，所以 的最小值是 ，不合题意； ------------8分
（3）当 时， 在（1，e）上单调递减， ------------9分
所以， 在［1，e]上的最小值是 ，不合题意
综上可知， 的取值范围是 . ------------10分
（Ⅲ）
所以 在区间 上单调递增
∴ 时， ------------11分
①当 时，有 ，
，
得 ，同理 ，
∴ 由 的单调性知 、
从而有 ，符合题设. ------------12分
②当 时， ，
，
由 的单调性知 ，
∴ ，与题设不符 ------------13分
③当 时，同理可得 ，
得 ，与题设不符.
∴综合①、②、③得 ------------14分
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