2015届高三年级第三次四校联考
数学（文）试题
命题：忻州一中 康杰中学 长治二中 临汾一中
(考试时间120分钟 满分150分)
一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
1.设全集为R，集合A= ，B= ，则
A. B. C. D.
2.已知复数 为虚数单位 ，则 的共轭复数是
A. B. C. D.
3.若等比数列 满足 ， ，则公比
A. B. C. D.
4.若椭圆 的离心率为 ，则双曲线 的渐近线方程为
A. B. C. D.
5.已知命题 使 ；命题 ，下列是真命题的是
A. B. C. D.
6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
7.在面积为 的 内部任取一点 ，则 的面积大于
的概率为
A. B. C. D.
8.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是
A. 2016 B. 2 C. D.
9.已知函数 ，则函数 的
大致图象是
10.在半径为 的球面上有 三点，如果 ， ，则球心 到平面 的距离为
A. B. C. D.
11.已知函数 的部分图象如图所示，
则 取得最小值时 的集合为
A. B.
C. D.
12.已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点， 在抛物线上且满足 ，当 取最大值时，点 恰好在以 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)
13.已知向量 ， ，若 ，则 .
14.设变量 满足约束条件 ，则 的最小值是 .
15.设数列 满足 ，点 对任意的 ，都有向量
，则数列 的前 项和 .
16.已知函数 ，若函数 有且仅有两个零点，
则实数 的取值范围是 .
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17. (本小题满分12分)
在ΔABC中，内角 所对的边分别为 .
若 － .
（1）求角C的大小；
（2）已知 ，ΔABC的面积为 . 求边长 的值.
18. (本小题满分12分)
如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道
数学题(满分12分)的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊，
记为 ，已知甲、乙两组的平均成绩相同.
（1）求 的值，并判断哪组学生成绩更稳定;
（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率.
19. (本小题满分12分)
如图， 是圆 的直径，点 在圆 上,矩形 所
在的平面垂直于圆 所在的平面, ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当三棱锥 的体积最大时，求点 到平面
的距离．
20. (本小题满分12分)
已知点 ,点 是圆C： 上的任意一点,，线段 的垂直
平分线与直线 交于点 .
（1）求点 的轨迹方程；
（2）若直线 与点 的轨迹有两个不同的交点 和 ，且原点 总在以
为直径的圆的内部，求实数 的取值范围．
21. (本小题满分12分)
设函数 ， .
(1) 若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的单调递减区间和极小值（其中 为自然对数的底数）；
（2）若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图所示,已知圆 外有一点 ,作圆 的切线 , 为切点,过 的中点 ,作割线 ,交圆于 、 两点,连接 并延长,交圆 于点 ,连接 交圆 于点 ,若 .
(1)求证:△ ∽△ ;
(2)求证:四边形 是平行四边形.
23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，圆C的参数方程为：
．以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆C的交点
为O、P，与直线 的交点为Q，求线段 的长．
24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数 = ， .不等式 的解集为 .
（1）求 ；
（2）当 时，证明: ．
2015四校三联文科数学试题答案
一选择题 1-6 CABADB 7-12DBDCBC
二填空题 13. 或 14. 15. 16.
三解答题
17.解：（１）由条件得 =2（2 ）
即 = = ………………2分
化简得 , ………………………4分
∵ ∴
又 ∴ ＝ ………………………6分
（２）由已知及正弦定理得 ………………………8分
又 SΔABC=8，C= ∴ 12 ， 得 ………………………10分
由余弦定理 得 . ………………………12分
18. （1） ∴ ……………2分 ，
又
………………4分
∴ ∴甲组成绩比乙组稳定。 ………………6分
（2）记甲组4名同学为：A1，A2， A3，A4；乙组4名同学为：B1，B2，B3，B4；分别从甲乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为：(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,B4)
(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,B4)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A3,B3)，(A3,B4)，(A4,B1)，(A4,B2)，(A4,B3)，(A4,B4)，共16个基本事件，其中得分之和低于20分的共6个基本事件， ………………10分
∴得分之和低于20分的概率是： . …………………12分
19．（1）证明：∵ 是直径，∴ …………………1分，
又四边形 为矩形, , ,∴
∵ ，∴ 平面 …………4分
又 平面 ，∴平面 平面 ………………6分
（2）由⑴知
， ………………………8分，
当且仅当 时等号成立 ……………………9分，
∴当 三棱锥 体积最大为 ……………………10分，
此时， ，
设点 到平面 的距离为 ，则
………………………12分
20.解：解：（1）由题意知 ，∴ ，
∴E的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，其轨迹方程为： ……………4分
（2）设 ，则将直线与椭圆的方程联立得： ，
消去y,得：
……………6分
因为O在以PQ为直径的圆的内部，故 ………7分
而
由 …………………9分
得： , 且满足（*）式
M的取值范围是 ……………………12分
21解：（1）由条件得 ……………………2分
∵曲线 在点 处的切线与直线 垂直，∴此切线的斜率为0
即 ，有 ，得 ……………………4分
∴ = ，由 得 ，由 得 .
∴ 在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，当 时 取得极小值
.
故 的单调递减区间为（0， ），极小值为 . ……………………6分
（2）条件等价于对任意 ， 恒成立，……（*）
设 ，
∴（*）等价于 在（0，+∞）上单调递减. ……………………9分
由 0在（0，+∞）上恒成立， ……………………10分
得 = 恒成立，
∴ ( 对 ， 仅在 12时成立)，
故 的取值范围是[ ，+∞）. ……………………12分
22.证明:(1)∵ 是圆 的切线, 是圆 的割线, 是 的中点,
∴ , ∴ ,
又∵ , ∴△ ∽△ ,
∴ , 即 .
∵ , ∴ , ∴ ,
∴△ ∽△ . …………………5分
(2)∵ ,∴ ,即 ,
∴ , ∵△ ∽△ ,∴ ,
∵ 是圆 的切线,∴ ,
∴ ,即 ,
∴ , ∴四边形PMCD是平行四边形. …………………10分
23.解：（1）圆C的普通方程为 ，又 ，
所以圆C的极坐标方程为 ………………5分
（2）设 ，则有 解得
设 ，则有 ,解得
所以 ………………10分
24.解:(1) 等价于
或 或 解得
…………………5分
(2) 当 时，即 时，要证 ，即证
所以 …………………10分
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