2015年皖北协作区高三年级第二次联考
数学试卷（理科）
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.“ 且 ”是“ 与 均为负数的”
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.复数 (其中 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知 成等差数列, 成等比数列,则 等于
A. B. C. D. 或
4.抛物线 的焦点到双曲线 的一条渐近线的距离为
A.1 B.2 C. D.
5.执行如图所示的程序框图,若输入 的值为2,则输出的 的值为
A.2 B.3 C.4 D.5
6.若 是奇函数,且在 上是减函数,又有 ,则不等式 的解集为
A. B. C. D.
7.函数 的图象大致是
A. B. C. D.
8.在极坐标系中,点 到圆 的圆心的距离为
A.2 B. C. D.
9.已知 满足约束条件 ,若 的最小值为1,则实数 的值是
A.4 B. C.1 D.2
10.已知 是单位向量,且 的夹角为 ,若向量 满足 ,则 的最大值为
A. B. C. D.
二、本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.
11.函数 的值域为
12.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四个面中,面积最大的面的面积是
13.从一架钢琴挑出的十个音键中,分别选择3个,4个,5个,…,10个键同时按下,可发出和声,若有一个音键不同,则发出不同的和声,则这样的不同的和声数为 (用数字作答)
14.已知集合 ,集合 ,若 ,则实数 的取值范围是
15.已知函数 ,则下列命题正确的是
(填上你认为正确的所有命题的序号)
①函数 的最大值为2;
②函数 的图象关于点 对称;
③函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称;
④若实数 使得方程 在 上恰好有三个实数解 ,则 ;
⑤设函数 ,若 ,则 .
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16(本小题满分12分)
设 的三内角 所对的边分别为 且 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ,且 的周长为14,求 的值.
17(本小题满分12分)
央视财经频道《升级到家》栏目答题有奖,游戏规则:每个家庭两轮游戏,均为三局两胜,第一轮3题答对2题,可获得小物件(家电),价值1600元;第二轮3题答对2题,可获得大物件(家具)价值5400元(第一轮的答题结果与第二轮答题无关),某高校大二学生吴乾是位孝顺的孩子,决定报名参赛,用自己的知识答题赢取大奖送给父母,若吴乾同学第一轮3题,每题答对的概率均为 ,第二轮三题每题答对的概率均为 .
(Ⅰ)求吴乾同学能为父母赢取小物件(家电)的概率;
(Ⅱ)若吴乾同学答题获得的物品价值记为 (元)求 的概率分布列及数学期望.
18(本小题满分12分)
已知函数 (其中 是自然对数的底数)
(Ⅰ)当 时,求函数 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数 的单调性.
19(本小题满分13分)
已知 为椭圆 的左,右焦点,点 在椭圆上,且
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)过 的直线 分别交椭圆 于 和 ,且 ,问是否存在常数 ,使得
成等差数列?若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由.
20(本小题满分13分)
如图,已知四边形 和 都是菱形,平面 和平面 互相垂直,且
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求四面体 的体积;
(Ⅲ)求二面角 的正弦值.
21(本小题满分13分)
已知数列 满足:
(Ⅰ)当 时,求数列 的通项公式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若数列 满足 为数列 的前 项和,求证:对任意 .
2015年皖北协作区高三年级联考参考答案
数 学（理科）
一、选择题
1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、A 7、C 8、D 9、D 10、A
二、填空题
11、 12、 13、968 14、 15、①③④⑤
三、解答题
16．解：
(1)由正弦定理得，
即(cos A－3cos C)sin B＝(3sin C－sin A)cos B，
化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)．
又A＋B＋C＝π，
所以sin C＝3sin A，因此 ＝ . -------------------------------------- 6分
(2)由 ＝ 得c＝3a.
由余弦定理及cos B＝ 得
b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋9a2－6a2× ＝9a2.
所以b＝3a.又a＋b＋c＝14.从而a＝2，因此b＝6. ------------------------ 12分
17．解：
（1）p= = ------------- 5分
（2）赢取大物件的概率:
p= = ------------- 7分
的分布列为：
0 1600 5400 7000
-------------- 10分
或
0 1600 5400 7000
-------------- 10分
=350+625+4375=5350（元） ----------------------12分
另注：若第一轮答题获得的物品价值记为 （单位：元），若第二轮答题获得的物品价值
记为 （单位：元）。 则： = +
=1350+4000=5350（元）
18．解 ：
（1）当 时
,
,
切线方程为：
即 --------------------------------5分
（2）由已知可得 ，
即 ----------------7分
①当 时，
函数 的递增区间为：（0，1） ，（ ，＋∞） ，递减区间为：（ ， ）.
②当 时，
函数 的递增区间为：（ ，＋∞） .
③当 时，
函数 的递增区间为：（0， ） ，（ ，＋∞） ，递减区间为：（ ， ）.
④当 时，
函数 的递增区间为：（ ，＋∞）， 递减区间为：（0，1）. ---------12分
注：每对一种情况给1分。
19．解 ：
（1） 因为 ，所以2a=4，a=2
所以E: ,将P 代入可得
所以椭圆E的方程为 ---------------------------------------4分
（2）
①当AC的斜率为零或斜率不存在时， = ----------------5分
②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程 ，并化简得 ．
设A（x1，y1），C（x2，y2），则
------------------------9分
因为直线BD的斜率为 ，
所以 ---------------------------------11分 =
综上，
所以，存在常数 使得 成等差数列。----------------------------13分
20．解 ：
（1）设 的中点为O，连接 , ，
因为四边形 和 都是菱形, 且 ，
所以三角形 和三角形 都是等边三角形，
所以
又 ,所以
所以 --------------------4分
（2）因为三角形 面积相等，
所以 =
所以四面体 的体积为1. --------------------------- 8分
（3）由（1）知 ，又因为平面 和平面 互相垂直，
所以 ,
所以 三条直线两两垂直，
以O为坐标原点，分别以 为x轴，y轴，z轴建立坐标系，
,
设平面 的法向量 的坐标分别为 ，
由 可得
所以可取 ，同理可取
所以二面角 的正弦值为 。----------13分
21．解：（1）当 时，
--------------------------2分
所以 是以1为首项、1为公差的等差数列，
从而 . -----------------------5分
（2）
所以当 时， --------------------------6分
当 时，因为
令
两式相减得
综上所述，对任意 ----------------13分
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