合肥市2015年高三第二次教学质量检测
数学试卷（理科）
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数 (其中 为虚数单位),则复数 的共轭复数 等于
A. B. C. D.
2.若集合 ,则 等于
A. B. C. D.
3.双曲线 的离心率是
A. B. C. D.
4.某空间几何体的三视图如图所示(其中俯视图的弧线为四分之一圆),则该几何体的表面积为
A. B. C. D.
5.“ ”是“直线 与直线 平行”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 等于
A.28 B.21 C.14 D.7
7.已知函数 ,如果存在实数 ,使得对于任意的实数 ,都有 成立,则 的最小正值是
A. B.
C. D.
8.如图所示的程序框图的输出结果是
A.7 B.8
C.9 D.10
9.某校开设5门不同的数学选修科,每位同学可以从中任选1门或2门课学习,甲,乙,丙三位同学选择的课没有一门是相同的,则不同的选法共有
A.330种 B.420种 C.510种 D.600种
10.已知 的三边长分别为 ,且满足 ,则 的取值范围是
A. B.(0,2) C.(1,3) D.(0,3)
二、本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.
11.甲,乙两位同学5次考试的数学成绩(单位:分)统计结果如下:
学生 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 77 81 83 80 79
乙 89 90 92 91 88
则成绩较为稳定的那位同学成绩的方差为
12.以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系取相同的长度单位,曲线 的参数方程为 为参数),曲线 的极坐标方程为 ,若 与 有两个不同的交点,则实数 的取值范围是
13.已知已知点 是 内一点,且 ,若 与 的面积之比为3:1,则
14.已知 为钝角,若 ,则 的最小值是
15.定义: ,当 且 时, ,对于函数 定义域内的 ,若存在正整数 是使得 成立的最小正整数,则称 是点 的最小正周期, 称为 的 周期点.已知定义在 上的函数 的图象如图,对于函数 ,下列说法正确的是 (写出你认为正确的所有命题的序号)
①0是函数 的一个 周期点;
②3是点 的最小正周期;
③对于任意正整数 ,都有 ;
④若 是 的一个 周期点,则
⑤若 是 的一个 周期点,则 一点是 的 周期点.
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16(本小题满分12分)
锐角 中,角 的对边分别为 ,已知 是 和 的等差中项.
(Ⅰ)求角 的大小;
(Ⅱ)若 ,求 的取值范围.
17(本小题满分12分)
某商场为回馈大客户,开展摸球中奖活动,规则如下:从一个装有质地和大小完全相同的4个白球和一个红球的摸奖箱中随机摸出一球,若摸出红球,则摸球结束,若摸出白球(不放回),则向摸奖箱中放入一个红球后继续进行下一轮摸球,直到摸出红球结束,若大客户在第 轮 摸到红球,则可获得
的奖金(单位:元)
(Ⅰ)求某位大客户在一次摸球中奖活动中至少获得2500元奖金的概率;
(Ⅱ)设随机变量 为某位大客户所能获得的奖金,求随机变量 的概率分布列及数学期望.
18(本小题满分12分)
长方体 中, 为 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 平面 ;
(Ⅱ)平面 与底面 所成的锐二面角的大小为 ,当 时,求 的取值范围.
19(本小题满分13分)
已知函数 (其中 .
(Ⅰ)若函数 在 上单调递减,求实数 的取值范围;
(Ⅱ)设函数 的最大值为 ,当 时,求 的最大值.
20(本小题满分13分)
已知椭圆 的焦距为 ,且该椭圆经过点 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)经过点 分别作斜率为 的两条直线,两直线分别与椭圆 交于 两点,当直线 与 轴垂直时,求 的值.
21(本小题满分13分)
记曲线 图象上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)若数列 的前 项和为 ,
求证: (其中 且 .
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