绝密★启用前
揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试
数学(理科)
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：棱锥的体积公式： ．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ，则 中元素的个数为
A．8 B．7 C．6 D．5
2．已知复数 ，则 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．“ ”是 “ ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．已知双曲线 的一条渐近线的斜率为 ，则该双曲线的离心率为
A. B. C.2 D.
5．不等式组 表示的平面区域的面积为
A. 7 B.5 C. 3 D.14
6．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是
A.若 ； B.若 ；
C.若 ； D. 若 ；
7．将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必须相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法种数为
A. 48 B. 24 C. 20 D. 12
8．非空数集 如果满足：① ；②若对 有 ，则称 是“互倒集”.给出以下数集：
① ； ② ； ③ ；
④ .其中“互倒集”的个数是
A.4 B. 3 C.2 D. 1
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9－13题）
9．已知 ，若 ，则 的值为 ．
10．已知函数 的图象经过点 ，则其反函数的解析式 = ．
11．在△ABC中， 的对边分别为 ，若 ， ， ，则 ______ ．
12．某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是 ，则这名运动员在10次射击中，至少有9次命中的概率是 ．（记 ，结果用含 的代数式表示）
13．已知函数 对应的曲线在点 处的切线与 轴的交点为 ，若 ，则 ．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线 被圆 截得的弦长
为 .
15．（几何证明选讲选做题）如图1，BE、CF分别为钝角△ABC
的两条高，已知 则BC边的长
为 ．
图1
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.(本小题满分12分)
已知函数 的最小正周期为 .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值.
17.(本小题满分12分)
图2是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图.
图2
（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图3中作出这些数据的频率分布直方图；
（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月1日至10日中的某一天到达该市，并停留2天，设 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 的数学期望．
（图中纵坐标1/300即 ，以此类推）
图3
18．（本小题满分14分）
如图4，已知 中， ，
， ⊥平面 ， 、 分别是 、 的中点．
（1）求证：平面 ⊥平面 ；
（2）求四棱锥B-CDFE的体积V；
（3）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
图4
19. (本小题满分14分)
已知 为数列 的前 项和， （ ），且 ．
（1）求 的值；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）设数列 满足 ，求证： ．
20. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 在直线 上，点 满足 ， ，点 的轨迹为曲线 .
（1）求 的方程；
（2）设直线 与曲线 有唯一公共点 ，且与直线 相交于点 ,试探究，在坐标平面内是否存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由.
21. (本小题满分14分)
已知函数 ， ，其中 ,（e≈2.718）．
（1）若函数 有极值1，求 的值；
（2）若函数 在区间 上为减函数，求 的取值范围；
（3）证明： ．
揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试
数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一、选择题：CBBD ACBC
解析：7. 不同的摆法种数为: 或 ．
8. 集合①，当 时为空集；集合②即 ， ，故集合②是互倒集；对于集合③当 时，
，当 时 ，显然非互倒集；对于集合④， 且 ，故集合④是互倒集.
二、填空题：9. ；10. ；11. ；12. ；13. 3；14. ；15. .
解析：12.所求概率 .
13.由 得曲线的切线的斜率 ，故切线方程为 ，令 得 ，故数列 是首项 ，公比 的等比数列，又
，所以 .
15．依题意得 ，因△BEA∽△CFA得 ,所以 ．
三、解答题：
16．解：（1）由 得 ----------------------------------------------------2分
（2）解法1：由 得 -----------------------3分
∵ ，∴ ， --------------------------------------------4分
∴ -----------------------------------------6分
∴ ----------------------------------------------------8分
----------------------------------------10分
----------------------------------------------------12分
[解法2：由 得 ，--------------------------3分
即 -------------------------------------------------5分
-----------------------①---------------------------------6分
将①代入 并整理得 ，---------------8分
解得： ，-------------------------②----------------10分
∵ ∴ ，∴ ，故②中负值不合舍去，----------------11分
∴ .-----------------------------------------------------------12分]
17．解：（1）频率分布表和频率分布直方图如下图示：
--3分 --7分
（2）设 表示事件“此人于当月 日到达该市”（ =1,2，…，10）.
则 （ =1,2，…，10）-------------------------------------------------8分
依题意可知， 的所有可能取值为0,1,2且
P( =0)= P(A5)+P(A6)= , ----------------------------------------------------9分
P( =1)= P(A1)+P(A4)+P(A7)+P(A10)= ，---------------------------------------10分
P( =2)= P(A2)+P(A3) +P(A8)+P(A9) = ，--------------------------------------11分
所以 的数学期望 ．-----------------------------------12分
18.（1）证明： AB⊥平面BCD， 平面 ，-------------------1分
又 ， ， 平面 ，------------------------------2分
又E、F分别是AC、AD的中点，∴ ---------------------------------------3分
∴EF⊥平面ABC
又 平面BEF， 平面BEF⊥平面ABC-----------4分
（2）解法1：由（1）知EF CD
∴ --------------------------------5分
∴ ---------------------6分
-------------------8分
[解法2：取BD中点G，连结FC和FG，则FG//AB，-----5分
∵AB⊥平面BCD，∴FG ⊥平面BCD，-----------------6分
由（1）知EF⊥平面ABC，
∴
.-----------------8分]
（3）解法1：以点C为坐标原点，CB与CD所在的直线分别为x、y轴建
立空间直角坐标系如图示，--------------------------------------------------------9分
则 ,
∴ , ,---------------10分
设平面BEF的一个法向量为 ，由 得
令 得 ，∴ ，------------------12分
∵ 是平面BCD的法向量，
设平面BEF与平面BCD所成的锐二面角大小为 ，
则 ,
∴所求二面角的余弦值为 ．---------------------------------------------------14分
[解法2：过点B作 //CD，则 平面
EF//CD，∴ ∴ 平面 ,
∴ 为平面BEF与平面BCD的交线，---------------------------------------------10分
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，∴
又 ，∴
∴ 为平面BEF与平面BCD所成的锐二面角的平面角，------------------------12分
在 中，
∵BE=CE，
∴ ，
即所求二面角的余弦值为 ．----------------14分]
19.解：（1）由 和 可得 --------------------2分
（2）解法1：当 时，由
得 ，---------------------------------4分
---------------------6分
∴数列 是首项 ，公差为6的等差数列，
∴ -------------------------------------------------------7分
∴ -----------------------------------------------------8分
[解法2：当 时，由 ------------------4分
可得 ,---------------------------------6分
∴数列 是首项 ,公差为3的等差数列，
，即 .--------------------------------------8分]
（3）证明： ------------------10分
--------------------11分
∴ -------------13分
命题得证．----------------------------------------14分
20.解：(1)设 ,由 得 ,-------------------------------------1分
又 ，∴ , , .--------------------3分
由 得
即 ，
∴曲线 的方程式为 .----------------------------------------------------5分
（2）解法1：由曲线C关于 轴对称可知，若存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，
则点 必在 轴上，设 ，--------------------------------------------------6分
又设点 ，由直线 与曲线 有唯一公共点 知，直线 与曲线 相切，
由 得 ，∴ ，---------------------------------------7分
∴直线 的方程为 ，--------------------------------------------8分
令 得 ，∴ 点的坐标为 ，-----------------------------9分
---------------------------------------10分
∵点 在以 为直径的圆上，
∴ ---------------12分
要使方程 对 恒成立，必须有 解得 ，-------------------------13分
∴在坐标平面内存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，其坐标为 ．---------14分
[解法2：设点 ，由 与曲线 有唯一公共点 知，直线 与曲线 相切，
由 得 ，∴ ，---------------------------------------6分
∴直线 的方程为 ，--------------------------------------------7分
令 得 ，∴ 点的坐标为 ，-------------------------8分
∴以 为直径的圆方程为： --------①-----10分
分别令 和 ，由点 在曲线 上得 ，
将 的值分别代入①得： -------------------------------②
--------------------------------------------------------③
②③联立解得 或 ，-----------------------------------------------12分
∴在坐标平面内若存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，则点 必为 或 ，
将 的坐标代入①式得，①式，
左边= =右边，
将 的坐标代入①式得，①式，
左边= 不恒等于0，------------------------------------13分
∴在坐标平面内是存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，点 坐标为为 ．--14分]
21.解：（1）∵ ，
∴ ，---------------------------------------------------------------1分
①若 ，则对任意的 都有 ，即函数 在 上单调递减，
函数 在 上无极值；----------------------------------------------------2分
②若 ，由 得 ，当 时 ，当 时， ，即函数 在 单调递减，在 单调递增，
∴函数 在 处有极小值，
∴ ，∴ .---------------------------------------------------4分
（2）解法1：∵函数 = 在区间 上为减函数
且当 时， ，
∴ 在 上恒成立 在 上恒成立，----5分
设 ，则 ----7分
当 时， ，
所以 在 上恒成立，即函数 在 上单调递减，-------------------8分
∴当 时， ，
∴ .-----------------------------------------------------------------------9分
[解法2：∵函数 = 在区间 上为减函数
∴对 ， -----------（ ）恒成立，--------------5分
∵ ，∴ ，
当 时，（ ）式显然成立；----------------------------------------------------6分
当 时，（ ）式 在 上恒成立，
设 ，易知 在 上单调递增，-------------------------------7分
∴ ，
∴ ，------------------------------------------------------------8分
综上得 .-------------------------------------------------------------9分]
（3）证法1：由（2）知，当 时， ,
，------------------------------------------10分
∵对任意的 有 ，∴
∴ ，--------------------------------------12分
∴
，
即 ．--------------------------------------------------------14分
[证法2：先证明当 时，
令 ,则 对任意的 恒成立，----------------10分
∴函数 在区间 上单调递减，
∴当 时， ， ----------------------------------11分
∵对任意的 ，
而 ---------------------------------------------12分
∴
.----14分]
点击下载：广东省揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学理试题.
