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揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试
数学(文科)
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：棱锥的体积公式： ．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．
导数公式： 若 ，则 ；
若 ，则 ．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ，则 中元素的个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知复数 ，则 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．“ ”是 “ ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．双曲线 的离心率为
A. B. C.2 D.
5．已知 ，若 ，则 的值为
A. B. 2 C. D.
6．已知函数 的图象经过点 ，则其反函数的解析式为
A. B. C. D.
7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了
解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取
40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为
A.8 B.12 C.20 D.30
8．不等式组 表示的平面区域的面积为 图1
A. 14 B.5 C. 3 D. 7
9．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是
A.若 ； B.若 ；
C.若 ； D.若 .
10. 对任意的 、 ，定义： = ； = .
则下列各式中恒成立的个数为
① ②
③ ④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11－13题）
11．不等式 的解集为 ．
12．在△ABC中， 的对边分别为 ，若 ， ， ，
则 ．
13．已知函数 对应的曲线在点 处的切线与 轴的交点为 ，
若 ，则 ．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线
被圆 截得的弦长为 .
15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE、CF分别为钝角
△ABC的两条高，已知
则BC边的长为 ． 图2
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.(本小题满分12分)
已知函数 的最小正周期为 .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值.
17.(本小题满分12分)
图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图.
图3
（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；
（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？
（图中纵坐标1/300即 ，以此类推）
图4
18．（本小题满分14分）
如图5，已知 中， ，
， ⊥平面 ， 、 分别是 、 的中点．
（1）求证：平面 ⊥平面 ；
（2）设平面 平面 ，求证 ；
（3）求四棱锥B-CDFE的体积V．
图5
19. (本小题满分14分)
已知 为数列 的前 项和， （ ），且 ．
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求证： ．
20. (本小题满分14分)
已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 是直线 与抛物线 在第一象限的交点，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设直线 与抛物线 有唯一公共点 ，且直线 与抛物线的准线交于点 ,试探究，在坐标平面内是否存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由.
21. (本小题满分14分)
已知函数 ， ，其中 ．
（1）若函数 ，当 时，求函数 的极值；
（2）若函数 在区间 上为减函数，求 的取值范围；
（3）证明： ．
揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试
数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一、选择题：BBDAC ABDCB
解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B.
二、填空题： 11. ；12. ；13. 3；14. ；15. .
解析：13.由 得曲线的切线的斜率 ，故切线方程为 ，令 得 ，故数列 是首项 ，公比 的等比数列，又
，所以 .
15．依题意得 ，因△BEA∽△CFA得 ,所以 ．
三、解答题：
16．解：（1）由 得 ----------------------------------------------------2分
（2）解法1：由 得 -----------------------3分
∵ ，∴ ， --------------------------------------------4分
∴ -----------------------------------------6分
∴ ----------------------------------------------------8分
----------------------------------------10分
----------------------------------------------------12分
[解法2：由 得 ，--------------------------3分
即 -------------------------------------------------5分
-----------------------①---------------------------------6分
将①代入 并整理得 ，---------------8分
解得： ，--------------------②---------------------10分
∵ ∴ ，∴ ，故②中负值不合舍去，----------------11分
∴ .-----------------------------------------------------------12分]
17．解：（1）
---4分 ----8分
(2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，------------------9分
故此人到达当天空气质量优良的概率： -------------------------------------------------------------11分
故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% ----------------------------12分
18.解：（1）证明： AB⊥平面BCD， 平面 ，----------------1分
又 ， ， 平面 ，------------------------------2分
又E、F分别是AC、AD的中点，∴ ---------------------------------------3分
∴EF⊥平面ABC
又 平面BEF， 平面BEF⊥平面ABC -----------------------------------------4分
（2） CD // EF， 平面 ， 平面
∴ 平面 ，----------------------------6分
又 平面BCD，且平面 平面
∴ ．------------------------------------8分
（3）解法1：由（1）知EF CD
∴ ------------------------------9分
∴ ------------------11分
------------------14分
[解法2：取BD中点G，连结FC和FG，则FG//AB，-----9分
∵AB⊥平面BCD，∴FG ⊥平面BCD，-----------------10分
由（1）知EF⊥平面ABC，
∴ ------12分
.----------------14分]
19.解：（1）由 和 可得 ，------------------2分
（2）解法1：当 时，由
得 ，---------------------------------4分
---------------------6分
∴数列 是首项 ，公差为6的等差数列，∴ -------------8分
[解法2：当 时，由 ------------------4分
可得 ,---------------------------------6分
∴数列 为首项 ,公差为3的等差数列，
，即 .
∴ ---------------------------------------------------------------------8分]
（3）证明：由（2）知 -----------------------------------10分
--------------------------------------------------12分
，
命题得证．---------------------------------------------------------------------14分
20.解：(1)解法1： ∵点 是直线 与抛物线 在第一象限的交点，
∴设点 ,----------------------------------------------------------1分
∵抛物线C的准线为 ，由 结合抛物线的定义得 -------①-----2分
又点 在抛物线C上，∴ .----------------------②-----3分
由①②联立解得 ，∴所求抛物线 的方程式为 .-------------------------5分
[解法2：∵点 是直线 与抛物线 在第一象限的交点，
∴设点 ,----------------------------------------------------------1分
∵抛物线C的焦点为 ，由 得 ,
即 ，-------------------------------------------①-------------2分
又点 在抛物线C上，∴ .--------------②-------------3分
由①②联立解得 ，∴所求抛物线 的方程式为 .-------------------------5分]
（2）解法1：由抛物线C关于 轴对称可知，若存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，
则点 必在 轴上，设 ，--------------------------------------------------6分
又设点 ，由直线 与抛物线 有唯一公共点 知，直线 与抛物线 相切，
由 得 ，∴ ，---------------------------------------7分
∴直线 的方程为 ，--------------------------------------------8分
令 得 ，∴ 点的坐标为 ，-----------------------------9分
--------------------------------------10分
∵点 在以 为直径的圆上，
∴ --------------12分
要使方程 对 恒成立，必须有 解得 ，-------------------------13分
∴在坐标平面内存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，其坐标为 ．--------14分
[解法2：设点 ，由 与抛物线 有唯一公共点 知，直线 与抛物线相切，由 得 ，∴ ，-----------------------------------6分
∴直线 的方程为 ，---------------------------------------------7分
令 得 ，∴ 点的坐标为 ，-------------------------8分
∴以 为直径的圆方程为： --------③----10分
分别令 和 ，由点 在抛物线 上得 ，
将 的值分别代入③得： -------------------------------④
--------------------------------------------------------⑤
④⑤联立解得 或 ，-----------------------------------------------12分
∴在坐标平面内若存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，则点 必为 或 ，
将 的坐标代入③式得，
左边= =右边，
将 的坐标代入③式得，
左边= 不恒等于0，------------------------------------13分
∴在坐标平面内是存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，点 坐标为为 ．--14分]
21.解：（1）∵当 时， 函数 ，
∴ ，---------------------------------------------------------1分
令 得 ，
当 时 ，当 时， ，即函数 在 单调递减，在 单调递增，---------------------------------------------------------------3分
∴函数 在 处有极小值，
∴ .----------------------------------------------------------4分
（2）解法1：∵函数 = 在区间 上为减函数
∴ 在 上恒成立 在 上恒成立，----5分
设 ，则 ---7分
当 时， ，
所以 在 上恒成立，即函数 在 上单调递减，-------------------8分
∴当 时， ，
∴ .-----------------------------------------------------------------------9分
[解法2：∵函数 = 在区间 上为减函数
∴对 ， -----------（ ）恒成立，--------------5分
∵ ，∴ ，
当 时，（ ）式显然成立；----------------------------------------------------6分
当 时，（ ）式 在 上恒成立，
设 ，易知 在 上单调递增，-------------------------------7分
∴ ，
∴ ，------------------------------------------------------------8分
综上得 .-------------------------------------------------------------9分]
（3）由（2）知，当 时， ,
，------------------------②----------------10分
∵对 有 ，
在②式中令 得 ，--------------------------12分
∴
，
即 ．-------------------------------------------------------14分
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