湖北黄冈2015高三3月份质量检测—数学理
黄冈市教育科学研究院命制 2015年3月16日下午2:00～4:00
一. 选择题:本大题共10小题,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 请将答案涂在答题卡对应题号的位置上,答错位置不得分.
1. z-是z的共轭复数,若z+z-=3,（z-z-）=3i（i为虚数单位）,则z的实部与虚部之和为（ ）
A. 0 B. 3 C. -3 D. 2
2. 若二项式（x+ax ）7的展开式中1x 的系数与1x3 的系数之比是35:21,则a=（ ）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
3. 设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N={x|y=ln（1-x2）},则M∩N=（ ）
A. {x|-1≤x≤1} B. {x|-1≤x≤0} C. {x|0＜x≤1} D. {x|0≤x＜1}
4. 设命题p:若|a→|=|b→|=2 ,且a→与b→的夹角是3π4 ,则向量b→在a→方向上的投影是1;命题q:“x≥1”是“1x ≤1”的充分不必要条件,下列判断正确的是（ ）
A. p∨q是假命题 B. p∧q是真命题 C. p∨q是真命题 D. ﹁q为真命题
5. 将函数 的图象向左平移α（α＞0,且α值最小）个单位长度后，所得到的图象关于 轴对称，则tanα的值是（ ）
A. 2 B. 3 3 C. 3 D. 2 2
6. 已知直线ax+by=0与双曲线x2a2 - y2b2 = 1 （0＜a＜b）交于A,B两点,若A（x1,y1）,B（x2,y2）满足|x1-x2|=33 ,且|AB|=6,则双曲线的离心率为（ ）
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A. 23 B. 43
C. 13 D. 16
8. 在区间[-12 ,12 ]上随机取一个数x,则cosπx的值介于2 2 与
3 2 之间的概率为（ ）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
9. 阿基米德“平衡法”的中心思想是:要算一个未知量（图形的体积或面积）,
先将它分成许多微小的量（如面分成线段,体积分成薄片等）,再用另一组微
小单元来进行比较. 如图,已知抛物线y=14 x2,直线l:x-2y+4=0与抛物线交
于A. C两点,弦AC的中点为D,过D作直线平行于抛物线的对称轴Oy,
交抛物线于点B,则抛物线弓形ABCD的面积与△ABC的面积之比是（ ）
A. 34 B. 43 C. 23 D. 32
10. 已知函数f（x）=|x|(x+4)x+2 （x≠-2）,下列关于函数 （其中a为常数）的叙述中：① a>0，函数g（x）一定有零点；②当a＝0时，函数g（x）有5个不同零点；③ a∈R，使得函数g（x）有4个不同零点；④函数g（x）有6个不同零点的充要条件是0<a< . 其中真命题的序号是（ ）.
A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①③④
二. 填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
（一）必考题11～14
11. 某程序框图如图所示,则输出的S的值为_______.
12. 现在所有旅客购买火车票必须实行实名制,据不完全统计
共有28种有效证件可用于窗口的实名购票,常用的有效
证件有:身份证,户口簿,军人证,教师证等,对2015年春运
期间120名购票的旅客进行调查后得到下表:
购买火车票方式 身份证 户口簿 军人证 教师证 其他证件
旅客人数 a 6 8 b 19
已知a-b=57,则使用教师证购票的旅客的频率大约为_________.
13. 已知实数x. y满足x+y-3≥0，x-y+1≤0，x-2y+6≥0. 且t=ax+by（0≤a＜b）取得最小值1,则2a+1 +32b+1 的最大值
为______.
14. 对于集合N={1,2,3,…,n}和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下:如集合{1,2,3,4,5}的交替和是5–4＋3–2＋1＝3，集合{3}的交替和为3. 当集合N中的n=2时，集合N={1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+（2–1）=4，请你尝试对n=3. n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3. S4，并根据计算结果猜测集合N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=. （不必给出证明）
（二）选考题（请考生在15. 16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B钢笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分）
15（选修4-1:几何证明选讲）
如图,A,B是圆O上两点,且OA⊥OB,OA=1,C为OA的中点,
连接BC并延长交圆O于点D,则CD=¬¬¬______.
16（选修4-4:坐标系与参数方程）
已知曲线ρ2-2ρcosθ-2sinθ+1=0（0≤θ≤2π）,则直线x=3t-2，y=4t-1. （t为参数）
与曲线的最小距离为_________.
三. 解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分11分）已知函数
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）在△ABC中，若 ,∠B= ，AC=2，求△ABC的面积.
18. （本小题满分12分）已知等比数列{an}的公比 ，前n项和为Sn，S3＝7，且a1+2,2a2,a3+1成等差数列，数列{bn}的前n项和为Tn， ，其中 N*.
（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（2）设A={a1,a2,…,a9}，B={b1,b2,…,b38},C=A∪B，求集合C中所有元素之和.
19. （本小题满分12分）如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,四边形BCC1B1是边长为6的正方形,直线AB与平面ACC1A1所成的角的正切值为3,点D为棱AA1上的动点,且AD＞DA1.
（1）当AD为何值时,CD⊥平面B1C1D?
（2）当AD=23 ,时,求二面角B1-DC-C1的正切值.
20. （本小题满分12分）某高中有甲. 乙两个生物兴趣小组,分别独立开展对一种海洋生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为34 ,乙组能使生物成活的概率为13 ,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生物不成活,则称该次试验是失败的.
（1）甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率;
（2）若甲. 乙两小组各进行2次试验,设试验成功的总次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
21. （本小题满分14分）如图. 已知F1,F2分别为椭圆x2a2 + y2b2 = 1 （a＞b＞0）
的左,右焦点,其离心率e=12 ,且a+c=3.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）设A. B分别为椭圆的上. 下顶点,过F2作直线l与椭圆交于
C. D两点,并与y轴交于点P（异于A. B. O点）,直线AC与直线
BD交于点Q,则OP→•OQ→是否为定值,若是,请证明你的结论;
若不是,请说明理由.
22. （本小题满分14分）设函数f（x）=1x -x+alnx（a∈R）（e=2. 71828…是一个无理数）.
（1）若函数f（x）在定义域上不单调,求a的取值范围;
（2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1和x2,记过点A（x1,f（x1））,B（x2,f（x2））的直线斜率为k,若
k≤2ee2-1 •a-2恒成立,求a的取值集合.
黄冈市2015年3月高三年级调研考试
理科数学参考答案
一. 选择题
1. B2. A3. D4. C5. B6. D7. A8. D9. B10. B
二. 填空题
11. 3012. 0. 12513. 39 14. n•2n-115. 35 10 16. 15
三. 解答题
17. 解：（1）f（x）＝2（32sinx＋12cosx）cosx－12＝3sinxcosx＋cos2x－12
＝32sinx＋12cos2＝sin（2x＋π6）…………………………5分
令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ得
x∈[－π3＋kπ，π6＋kπ]（k∈Z）
即函数f（x）的单调递增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ]（k∈Z）……………6分
（2）∵0＜A＜π∴π6＜2A＋π6＜136π,fA. ＝sin（2A＋π6）＝32
∴2A＋π6＝π3或2A＋π6＝23π，即A＝π12或A＝π4…………………………8分
A＝π12时，C＝23π，a＝22sinA＝6－24•22＝3－1,S△ABC＝12absinC＝3－32………10分
②当A＝π4时，C＝π2，S△ABC＝12ab＝2…………………………………………11分
注：得一解只给9分
18. 【解析】（1）∵ ，∴ ①
∵a1+2,2a2,a3+1成等差数列，∴a1+2+a3+1=4a2,②…………………2分
②－①得， 即 ③又由①得， ④
消去 得， ，解得 或 （舍去）
∴ ………………………………………………4分
当 N*时， ，当 时，
∴当 时， ，即 …………6分
∴ ， ， ， .
∴b2b1 •b3b2 •b4b3 •…•bnbn-1 =41 •74 •107 •…•3n-23n-5 ∴
∵ ，∴ ，
故 N*）………………………………………………8分
（2）S9=1-291-2 =29-1=511，T38=38×(1+112)2 =2147. ……………………10分
∵A与B的公共元素有1，4，16，64，其和为85，
∴集合C中所有元素之和=S9+T38-85=511+2147-85=2573. …………………12分
19. 解法一:（1）∵四边形BCC1B1是边长为6的正方形,∴BC=CC1=AA1=6.
∵∠ACB=90°,∴AC⊥B C. 又易知AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BC,又AC∩AA1=A,
∴BC⊥平面ACC1A1. ∠BAC就是直线AB与平面ACC1A1所成的角,
∴tan∠BAC=BCAC =6AC =3,∴AC=2,又BC∥B1C1,∴B1C1⊥平面ACC1A1.
∴B1C1⊥CD,故当CD⊥C1D时有CD⊥平面B1C1D,此时有△C1A1D∽△DAC,设AD=x,则A1C1A1D =ADAC ,
即26-x =x2 ,解得x=3±5 ,由于AD＞DA1. 故当AD=3+5 时,CD⊥平面B1C1 D. ………6分
（2）在平面ACC1A1内过点C1作C1E⊥CD,交CD的延长线于点E,连接EB1,如图.
由（1）可知B1C1⊥平面ACC1A1,故由三垂线定理可知,B1E⊥C D.
故∠B1EC1为二面角B1-DC-C1的平面角.
当AD=23 时,DC=4,S△DCC1 =12 CC1•AC=6,∴12 DC•C1E=6,
解得C1E=3,故tan∠B1EC1=B1C1C1E =2,
即二面角B1-DC-C1的正切值为2. …………………12分
解法二:（向量法）（1）取C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直线坐标系.
同解法一可求得AC=2. 设AD=x,则点C（0,0,0）,A（2,0,0）,B1（0,6,6）,C1（0,0,6）,D（2,0,x）.
∴C1B1→=（0,6,0）,DC1→=（-2,0,6-x）,CD→=（2,0,x）.
由•C1B1→=(2,0,x)•(0,6,0)=0，CD→•DC1→=(2,0,x)•(-2,0,6-x)=0. 解得x=3±5 ,由于AD＞DA1.
故当AD=3+5 时,CD⊥平面B1C1 D. ………6分
（2）若AD=23 ,则点D（2,0,23 ）,CD→=（2,0,23 ）,CB1→=（0,6,6）,设平面B1CD的法向量为m→=（x,y,z）.
由•CB1→=0，m→•CD→=0. 得6y+6z=0，2x+23 z=0. 令z=-1,得m→=（3 ,1,-1）,又平面C1DC的法向量为n→=（0,1,0）.
设二面角B1-DC-C1的大小为θ,则cosθ= = = ,
∴sinθ=25 ,∴tanθ=sinθcosθ =2. 即二面角B1-DC-C1的正切值为2. ………………12分
20. 解:（1）设甲小组做了三次实验,至少两次试验成功为事件A,则
PA. =C23 （34 ）2×（1-34 ）+C33 （34 ）3=2732 …………………………5分
（2）由题意 的取值为0,1,2,3,4.
P（ξ=0）=C02 （34 ）0×（14 ）2•C02 （13 ）0×（23 ）2=4144 ,
P（ξ=1）=C12 （34 ）×（14 ）×C02 （13 ）0×（23 ）2+C02 （34 ）0×（14 ）2×C12 （13 ）×（23 ）=28144 ,
P（ξ=2）=C22 （34 ）2×（14 ）0•C02 （13 ）0×（23 ）2+C02 （34 ）0×（14 ）2•C22 （13 ）2×（23 ）0+C12 （34 ）×（14 ）•C12 （13 ）×（23 ）=61144 ，
P（ξ=3）=C22 （34 ）2×（14 ）0•C12 （13 ）×（23 ）+C12 （34 ）×（14 ）1•C22 （13 ）2×（23 ）0=42144 ，
P（ξ=4）=C22 （34 ）2×（14 ）0•C22 （13 ）2×（23 ）0=9144 …………………………9分
故 的分布列为
0 1 2 3 4
P 4144
28144
61144
42144
9144
∴E（ξ）=0×4144 +1×28144 +2×61144 +3×42144 +4×9144 =136 ……………………12分
21. 解析:（1）由题意得,ca =12 ,又a+c=3,解得a=2,c=1,∴b2=3,
故所求椭圆的标准方程为x24 + y23 = 1 . ……………………4分
（2）OP→•OQ→是为定值3. 证明如下:……………………………6分
显然,当直线l垂直于x轴时,不合题意,当直线l不垂直于x轴时,由（1）得F2（1,0）,
设直线l的方程为x=my+1（m≠0）,则P（0,-1m ）.
将直线x=my+1代入x24 + y23 = 1 整理得（3m2+4）y2+6my-9=0. 设C（x1,y1）,D（x2,y2）,则 ＞0.
由韦达定理得y1+y2=-6m3m2+4 ,y1y2=-93m2+4 . …………………………………8分
直线AC的方程为y-3 =y1-3 x1 x,直线BD的方程为y+3 =y2+3 x2 x,联立消去x得
y-3 y+3 =x2 (y1-3 )x1 (y2-3 ) ,∴（y-3 y+3 ）2=x22 (y1-3 )2x12 (y2-3 )2 =(3-y22)(y1-3 )2(3-y12)(y2-3 )2 =(y1-3 )(y2-3 )(y1+3 )(y2+3 )
=y1y2-3 (y1+y2)+3y1y2+3 (y1+y2)+3 =- 93m2+4 -3 (- 6m3m2+4 )+3 - 93m2+4 +3 (- 6m3m2+4 )+3 =（3 m+13 m-1 ）2. ………………10分
∵-3 ＜y1,y2＜3 ,∴y-3 y+3 与x2x1 异号,x1x2=m2y1y2+m（y1+y2）+1=m2（-93m2+4 ）+m（-6m3m2+4 ）+1
=4(1-3 m)(1+3 m)3m2+4 ,∴x2x1 与3 m+13 m-1 异号,∴y-3 y+3 与3 m+13 m-1 同号,∴y-3 y+3 =3 m+13 m-1
解得y=-3m,因此Q点的坐标为（xQ,-3m）,又P（0,-1m ）,
故OP→•OQ→=（0,-1m ）•（xQ,-3m）=3（定值）. ………………………………14分
（2）法二：设直线l的方程为y=k（x-1）,P（0，-k）,代入x24 + y23 = 1 整理得
（3+4k2）x2－8k2x+4k2－12=0,x1+x2=8k23+4k2 ,x1x2=4k2-123+4k2 , ……①………８分
直线AC的方程为y-3 =y1-3 x1 x,直线BD的方程为y+3 =y2+3 x2 x,联立消去x得
y-3 y+3 =x2 (y1-3 )x1 (y2-3 ) = ,………………………………１０分
由合分比定理得
，将①代入化简得y=－３ｋ
故OP→•OQ→=（0,-ｋ）•（xQ,－３ｋ ）=3（定值）………………………………14分
22. 解析:（1）∵f（x）的定义域为（0,+∞）,f′（x）=-1x2 -1+ax =-x2-ax+1x2 ,………1分
令g（x）=x2-ax+1,其判别式 =a2-4.
①当-2≤a≤2时, ≤0,f′（x）≤0,故f（x）在（0,+∞）上单调递减,不合题意. …………2分
②当a＜-2时, ＞0,g（x）=0的两根都小于零,故在（0,+∞）上,f′（x）＜0,故f（x）在（0,+∞）上单调递减,不合题意. ………………………………………………………………………3分
③当a＞2时, ＞0,设g（x）=0的两个根x1,x2都大于零,令x1=a-a2-4 2 ,
x2=a+a2-4 2 ,x1x2=1. 当0＜x＜x1时,f′（x）＜0,当x1＜x＜x2时,f′（x）＞0,当x＞x2时,
f′（x）＜0,故f（x）分别在（0,x1）,（x2,+∞）上单调递减,在（x1,x2）上单调递增,
综上所述,a的取值范围是（2,+∞）. ……………………………………………6分
（2）依题意及（1）知,a=x1+x2=x2+1x2 >2,∵f（x1）-f（x2）=1x1 –x1+alnx1-（1x2 –x2+alnx2）
=x2-x1x1x2 +（x2-x1）+a（lnx1-lnx2）,
∴k=f(x1)-f(x2)x1-x2 =-1x1x2 -1+a•lnx1-lnx2x1-x2 =-2+a•lnx1-lnx2x1-x2 . ………8分
若k≤2ee2-1 a-2,则-2+a•lnx1-lnx2x1-x2 ≤2ee2-1 a-2,∴lnx1-lnx2x1-x2 ≤2ee2-1 .
不妨设x1＜x2,则x1-x2≤e2-12e （lnx1-lnx2）. 又x1=1x2 ,
∴1x2 –x2≤e2-12e （-2lnx2）,∴1x2 –x2+e2-1e •lnx2≤0（x2＞1）①恒成立.
记F（x）=1x –x+e2-1e •lnx（x＞1）,记x1′=12 [e2-1e -(e2-1e )2-4 ],
x2′=12 [e2-1e +(e2-1e )2-4 ]. 由（1）③知F（x）在（1,x2′）上单调递增,在（x2′,+∞）上单调递减,且易知0＜x1′＜1＜x2′＜e. 又F（1）=0,F（e）=0,所以,当x∈（1,e）时,F（x）＞0;当x∈[e,+∞）时,F（x）≤0.
故由①式可得,x2≥e,代入方程g（x2）=x22-ax2+1=0,得a=x2+1x2 ≥e+1e （∵a=x2+1x2 在x2∈[e,+∞）上递增）. 又a＞2,所以a的取值集合是{a|a≥e+1e }. ………………………………14分
点击下载：湖北省黄冈市2015届高三3月调考数学（理）试题
