成都市2015届高中毕业班第二次诊断性检侧
数学（理工类）
一、选择题（50分）
1.已知i是虚数单位，则 ＝
(A) ＋ (B)－ ＋ (C) － （D）－ －
2、双曲线 的右焦点到抛物线 的准线的距离为
（A）5 （B）4 （C）3 （D）2
3、某几何体的正视图和俯视图如图所示，若正视图是面积为3的矩形，俯视图是边长为1的正三角形，则该几何体的侧视图的面积为
（A）3 （B）3 （C） （D）9
4、设函数 的图象为C，则下列表述正确的是
（A）点（ ，0）是C的一个对称中心 （B）直线 是C的一条对称轴
（C）点（ ，0）是C的一个对称中心 （B）直线 是C的一条对称轴
5、若实数x，y满足 ，则 的取值范围为
6、执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为 ，则输出的i的值为
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
7、已知函数f（x）的部分图象如图所示，则下列关于f（x）的表达式中正确的是
（A） （B）
（C） （D）
8、小明手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的k，3张为不同花色的A。规定每次只能出同一种点数的牌（可以只出一张，也可出多张），出牌后不再后收回，且同一次所出的牌不考虑顺序，若小明恰好4次把牌出完，则他不同的出牌方式种数共有
（A）48 （B）74 （C）96 （D）98
9、已知关于x的方程 恒有实数解，记m的所有可能取值构成集合P；又焦点在x轴上的椭圆 的离心率的取值范围为 ，记n的所有可能取值构成集合Q。设M＝P Q，若 为区间［－1,4］上的随机数，则 的概率为
（A） （B） （C） （D）
10、已知函数f（x）与g（x）的公共定义域为I，函数h（x）满足：对任意 ，点（x，h（x））与（x，g（x））均关于点（x，f（x））对称，若f（x）＝alnx－x2＋ax（a＞0），对任意 ，函数g（x）满足2g（x）－g（1－x）＝ ，其中2＝2.71828…为自然对数的底数，有下列命题：
①当a＝1时，曲线y＝h（x）在x＝1处的切线的斜率为－e－2；
②当a＝1， 时，函数h（x）的值域为（－ ］；
③若函数f（x）在（0,2）内不单调，则a的取值范围为（0,2）
④设函数 ，其中 为 的导函数，若O为坐标原点，函数F（x）的图象为C，则对任意点M C，都存在唯一点N C，使得
其中真命题的个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
二、填空题（25分）
11、设函数 ，则 ＝
12、已知 为第三象限的角，且 ，则 ＝
13、已知三棱柱AB-A1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面边长与侧棱长都等于3，蚂蚁从A点沿侧面经过棱BB1上的点N和CC1上的点M爬到点A1，如图所示，则当蚂蚁爬过的路程最短时，直线MN与平面ABC所成角的正弦值为
14、在如图所示的方格柢中，向量a，b，c的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若c与xa＋yb（x，y为非零实数）共线，则 的值为
15、已知点 其中 ，且 ， 。若四边形ABCD是矩形，则此矩形绕x轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为
三、解答题（75分）
16、（12分）已知向量 若函数 的最小正周期为 。
（I）求 的值。
（II）在△ABC中，若 的值。
17、（12分）如图，已知四棱柱ABD－A1B1C1D1的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是CD的中点，CD＝2AB＝2AD，AD＝1，AA1＝ 。
（I）求证：EA1⊥平面BDC1；
（II）求二面角D－BC1－D1的余弦值。
18、（12分）
已知等差数列{ }的前n项和为 ，且点（2， 均在直线x－y＋1＝0上。
（I）求数列{ }的通项公式 及前n项和为 ；
（II）设 ，试比较 的大小。
19、（12分）为检测某种零件的生产质量，检验人员需抽取同批次的零件样本进行检测并评分．若检测后评分结果大于60分的零件为合格零件，评分结果不超过40分的零件将直接被淘汰，评分结果在(40,60]内的零件可能被修复也可能被淘汰．
（I）已知200个合格零件的评分结果的频率分布直方图如图所示．请根据此频率分布直方图，估计这200个零件评分结果的平均数和中位数；
（II）根据已有的经验，可能被修复的零件个体被修复的概率如下表：
假设每个零件被修复与否相互独立．现有5个零件的评分结果为（单位：分）：38，43，45，
52，58，记这5个零件被修复的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
20、（13分）已知椭圆 的右焦点F2的坐标为(c,0)，若b＝c,且点(c, l)在椭
圆 上．
（I）求椭圆 的标准方程；
（II）当k≠0时，若直线 与椭圆 的交点分别为A，B和C，D，记四边形ACBD的面积为S,.
①求S1关于k的表达式；
②若直线 的交点分别为M，N和P，Q，记四边形MNPQ的面积为S2，试判断 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由。
21、（14分）已知函数 ，其中 为自然对数的底数。
（I）当b＝－a时，求f（x）的极小值；
（II）当f（x＋1）＋a≥0时，对x R恒成立，求ab的最大值；
（III）当a＞0，b＝－a时，设 为f（x）的导函数，若函数f（x）有两个不同的零点 ，且 ，求证：
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