河南省六市2015届高三3月第一次联合调研检测
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一．选择题：
1．已知集合 则 ( C)
A． B． C． D．
2．如果复数 (其中 为虚数单位， 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么 等于( C )
A． B． C． D．2
3．在等差数列 中，首项 公差 ，若 ，则 （A ）
A． B． C． D．
4．.函数 的图象大致是（ B）
5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 值是 (D ).
A．3 B．4
C．6 D．8
6.函数 为奇函数，该函数的部分图像如 右图所示， 、 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为 ，则该函数图像的一条对称轴为（C ）
A． B． C. D．
7. 已知正数x，y满足 ，则 的最小值为( C )
A．1 B． C． D．
8.若 ， ，则 的值为（D ）
A． B． C． D．
9．一个几何体的三视图如右图所示，则这个 几何体的体积是（D）
A．1 B．2
C．3 D．4
10.在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ， ，则 的值为（A）
A． B. C． D．
11．设双曲线 的右焦点为 ，过点 作与 轴垂直的直线 交两渐近线于 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 ，设 为坐标原点，若 ，则双曲线的离心率为（ A）
A． B． C． D．
12.若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数 的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数 的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数 ，则 的“姊妹点对”有 （C ）
A． 0个 B． 1个 C．2个 D．3个
第Ⅱ卷
二．填空题：
13.己知 ，则 的展开式中的常数项为_____________．
14.已知三棱锥 的所有棱长都相等1，则三棱锥 的内切球的表面积 ．
15.已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1： ，则a的值等于 ．4
16. 已知 ， ，对任意的c＞1,存在实数 满足
，使得 ，则k的最大值为 ．3
三、解答题：
17.（本小题满分12分）
已知 是一个公差大于0的等差数列，且满足 , .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足： ，求数列 的前 项和.
解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，则依题设 ．
由 ,可得 ．
由 ，得 ，可得 ．
所以 ．
可得 ．……………………………4分
（Ⅱ）设 ，则 .
即 ，
可得 ，且 ．
所以 ，可知 ．………………8分
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
所以前 项和 ． …………………………12分
18. （本小题满分12分）
在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 .
（I）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
（II）设在该次比赛中，甲队得分为 的分布列和数学期望.
【解析】
（I）设“甲队获第一且丙队获第二”为事件A，则
………………………………………6分
（II） 可能的取值为0，3，6；则
甲两场皆输：
甲两场只胜一场：
甲两场皆胜： ，
的分布列为：
…………………………12分
19. （本小题满分12分）
如图，已知长方形 中， , 为 的中点.将 沿 折起，使得平面 平面 .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若点 是线段 上的一动点，问点E在何位置时，二面角 的余弦值为 ．
解：（Ⅰ）证明：连接BM，则AM=BM= ，所以
又因为面 平面 ，
所以， …………………………………………4分
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系
由（I）可知，平面ADM的法向量
设平面ABCM的法向量 ，
所以，
…………………………………………10分
二面角 的余弦值为
得， ，即：E为DB的中点。 …………………………………………12分
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为 ，离心率 ，P为椭圆上任意一点， 的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点S（4,0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为 ，过点 与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）椭圆C的方程为 ……………………………………4分
（Ⅱ）联立 消 得
，即 ………………6分
设Q( ）， ，则
由韦达定理有
直线 的方程为
令 ，得
将（1），（2）代人上式得 ，…………………………………………9分
又
=
=
=18
=18
当 时取得. ………………………………………………12分
21.（本小题满分12分）
设函数 ．
(I)求函数 的单调区间；
(II)若函数 有两个零点，求满足条件的最小正整 的值；
(III)若方程 ,有两个不相等的实数根 、 ，求证： .
(I)解：f′(x)＝2x－(a－2)－ (x>0)．
当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
当a>0时，由f′(x)>0，得x> ；由f′(x)<0，得0<x< .
所以函数f(x)的单调增区间为 ，单调减区间为 . …………….4分
(II)解：由(1)得，若函数f(x)有两个零点
则a>0，且f(x)的最小值f <0，即－a2＋4a－4aln <0.
因为a>0，所以a＋4ln －4>0.令h(a)＝a＋4ln －4，显然h(a)在(0，＋∞)上为增函数，
且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln －1＝ln －1>0，所以存在a0∈(2，3)，h(a0)＝0.
当a>a0时，h(a)>0；当0<a<a0时，h(a)<0.所以满足条件的最小正整数a＝3 ………8分
(III)证明：因为x1、x2是方程f(x)＝c的两个不等实根，由(1)知a>0.
不妨设0<x1<x2，则 －(a－2)x1－alnx1＝c， －(a－2)x2－alnx2＝c.
两式相减得 －(a－2)x1－alnx1－ ＋(a－2)•x2＋alnx2＝0，
即 ＋2x1－ －2x2＝ax1＋alnx1－ax2－alnx2＝a(x1＋lnx1－x2－lnx2)．
所以a＝ .因为f′ ＝0，
当x∈ 时，f′(x)<0， 当x∈ 时，f′(x)>0，
故只要证 > 即可，即证明x1＋x2> ，
即证明 － ＋(x1＋x2)(lnx1－lnx2)< ＋2x1－ －2x2，
即证明ln < .设t＝ (0<t<1)．
令g(t)＝lnt－ ，则g′(t)＝ .
因为t>0，所以g′(t)≥0，当且仅当t＝1时，g′(t)＝0，所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数．
又g(1)＝0，所以当t∈(0，1)时，g(t)<0总成立．所以原题得证 ………………12分
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知 与⊙ 相切， 为切点，过点 的割线交圆于 两点，弦 ， 相交于点 ， 为 上一点，且 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ，求 的长．
解：（Ⅰ）∵ ,
∴ ∽ ,∴ ……………………………………3分
又∵ ,∴ , ∴ ,
∴ ∽ ， ∴ ， ∴
又∵ ，∴ ． ………………………………5分
（Ⅱ）∵ ,
∴ ，∵ ∴
由（1）可知： ，解得 . …………………………7分
∴ ． ∵ 是⊙ 的切线，∴
∴ ，解得 ． ……………………………………10分
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）求直线 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 与曲线 相交于 、B两点，求 .
解：（Ⅰ）消去参数得直线 的直角坐标方程： ---------2分
由 代入得 .
（ 也可以是： 或 ）---------------------5分
（Ⅱ） 得
-----------------------------7分
设 ， ，
则 .---------10分
（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设不等式 的解集为 , .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）比较 与 的大小.
解：（I)记 ，
由 解得： ，
即 ……………………………………………………3分
所以， ; ……………………5分
（II）由（I）得： ， ，
因为
………………9分
故 ，即 ……………………10分
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