2015年丹东市高三总复习质量测试（一）
数学（理科）
命题：宋润生 周宝喜 齐丹 审核：宋润生
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷1至3页，第II卷4至6页．其中第II卷第(22)题～第(24)题为选考题，其它题为必考题．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）在复平面内，复数 所对应的点在
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（2）已知集合 ， ，且 ，那么 的值可以是
（A） （B） （C） （D）
（3）已知向量 , , ,若 ，则实数
（A） （B） （C） （D）
（4）下列结论中正确的是
（A）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于
（B）在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ，若 位于区
域 的概率为 ，则 位于区域 内的概率为
（C）从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样
（D）利用随机变量 来判断“两个独立事件X，Y的关系”时，算出的 值越大，判断“X与Y有关”的把握就越大
（5）给出右面的程序框图 ，若输入的 值为 ，
则输出的 值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为 的扇形，
则该几何体的侧面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）如图，从气球 上测得正前方的河流的两岸 ， 的俯角分别为 ， ，此时气球的高是 m，则河流的宽度 等于
（A） m
（B） m
（C） m
（D） m
（8）设 满足约束条件 ，则 的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（9）在平面直角坐标系中，点 在角 的终边上，点 在角 的
终边上，则
（A） 或 （B） 或 （C） （D）
（10）如图所示，函数 的部分图象，已知
，且 ，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）经过双曲线 的右焦点为 作该双曲线一条渐近线的垂
线与两条渐近线相交于 两点，若 是坐标原点，△ 的面积是 ，
则该双曲线的离心率是
（A） （B） （C） （D）
（12）关于函数 ，给出以下4个结论：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
其中正确结论的个数是
（A） （B） （C） （D）
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
（13） 的展开式中 的系数是 ．
（14）已知 ， 分别是 上的奇函数和偶函数，若 ，
则 ．
（15）已知抛物线 ： 的焦点是 ，点 ，线段 与 的交点是 ，过 作 准线的垂线，垂足是 ，若 ，则 ．
（16）四面体 的体积是 ，△ 是斜边 的等腰直角三角形，若点 ，
， ， 都在半径为 的同一球面上，则 与 中点的距离是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
数列 满足 ， ， ．
（I）设 ，证明 是等差数列；
（II）求 的通项公式．
（18）（本小题满分12分）
如图，正三棱柱 中，底面边长为 ，
侧棱长为 ， 为 中点．
（I）求证： ∥平面 ；
（II）求二面角 的余弦值．
（19）（本小题满分12分）
某校理科实验班的100名学生期中考试的语文数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．
这100名学生语文成绩某些分数段的人数 与数学成绩相应分数段的人数 之比如下表所示：
分组区间 [100,110） [110,120） [120,130） [130,140）
1:2 2:1 3:4 1:1
（I）估计这100名学生数学成绩的中位数；
（II）从数学成绩在[130，150] 的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为 ，求 的数学期望 ．
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆上．
（I）求椭圆的方程；
（II）点 在圆 上，且 在第一象限，过 作圆 的切线交椭圆于 , 两点，求证：△ 的周长是定值．
（21）（本小题满分12分）
已知 是函数 的极值点， 自然对数底数．
（I）求 值，并讨论 的单调性；
（II）是否存在 ，使得当 时，不等式 对任意正实数 都成立？请说明理由．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知A，B，C，D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，D为切点，AC∥DE，AC与BD相交于H点．
（I）求证：BD平分∠ABC；
（II）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的长．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（I）求 的参数方程；
（II）若点 在曲线 上，求 的最大值和最小值．
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于 的不等式 ．
（I）当 时，求此不等式的解集；
（II）若此不等式的解集为 ，求实数 的取值范围．
2015年丹东市高三总复习质量测试（一）
数学（理科）试题参考答案与评分参考
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
（1）A （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C
（7）B （8）C （9）D （10）D （11）C （12）D
（11）题引申：如果把题中的“ ”改成“ ”，答案是 或 ．
（12）题①②④是正确的．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
（13） （14） （15） （16）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
（17）（本小题满分12分）
解：（I）由 得
，
∴ 是首项为1，公差为2的等差数列； …………（6分）
（II）由（I）得 ，于是 ，
当 时，
而 ，∴ 的通项公式 ． …………（12分）
【注意】“累加”法，不要忘记验证 情形．
（18）（本小题满分12分）
（I）证明：如图，连结A1B与AB1交于E，连结DE，则E为A1B的中点，
∴BC1∥DE， 平面 ， 平面 ，
∴ ∥平面 ； …………（6分）
（II）方法1：
过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质，AA1⊥DF，
∴DF⊥平面ABB1A1，连结EF，DE，
∴DE⊥AB1，∴可得EF⊥AB1，
则∠DEF为二面角A1－AB1－D的平面角， …………（8分）
在正三角形A1B1C1中，∵D是A1C1的中点，
∴ ＝ ，
又在直角三角形AA1D中，∵AD＝AA21＋A1D2＝ ，
∴AD＝B1D，可求得 ，
∵△B1FE∽△B1AA1，得 ，
∴cos∠DEF＝22，即二面角A1－AB1－D的余弦值为22． …………（12分）
方法2：
建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ，
， ，
，
∴ ＝（0，1， ）， ＝（－ a，－ ,0），
设n1＝（x，y，z）是平面AB1D的一个法向量，
则可得 n1•AB1＝0n1•B1D＝0，即 ．
∴n1＝（－3，1，－2）． ，
又平面ABB1A1的一个法向量n2＝OC＝（－ ,0,0），
设n1与n2的夹角是θ，则 cosθ＝n1•n2|n1|•|n2|＝22，
又可知二面角A1－AB1－D是锐角，
∴二面角A1－AB1－D的余弦值为22． …………（12分）
（19）（本小题满分12分）
解：（I）∵ ， ，
∴这100名学生数学成绩的中位数是 ； …………（6分）
（II）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为
∴数学成绩在[140，150]的人数为 人，
而数学成绩在[130，140）的人数为 人，
可取0,1,2，
， ， ，
分布列
0 1 2
∴ ． …………（12分）
【引申】本题还可以这样设问：根据题中的数据，分析比较这个班级的语文成绩数学成绩．
可以从以下几个方面选择回答：
①由直方图分别估计出语文成绩数学成绩的中位数，比较其大小，写出一个统计结论；
②比较语文成绩数学成绩130或140以上人数的多少，写出一个统计结论；
③由直方图分别估计出语文成绩数学成绩的众数（或从形成单峰处），比较其大小，写出一个统计结论；
④由直方图分别估计出语文成绩数学成绩的平均分，比较其大小，写出一个统计结论；
⑤由直方图分别估计出语文成绩数学成绩的方差，比较其大小，写出一个统计结论．
（20）（本小题满分12分）
解：（I）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是 ， ， ，
∵ 在椭圆上，
∴ ，
， ，
椭圆的方程是 ； …………（6分）
（II）方法1：设 ，则 ，
，
∵ ，∴ ，
在圆中， 是切点，
∴ ，
∴ ，
同理 ，∴ ，
因此△ 的周长是定值 ． …………（12分）
方法2：设 的方程为 ，
由 ，得
设 ，则 ， ，
∴
，
∵ 与圆 相切，∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，∴ ，同理 ，
∴ ，
因此△ 的周长是定值 ． …………（12分）
（21）（本小题满分12分）
解：（I） ，由题意 ，得 ， …………（2分）
此时 ，定义域是 ，
令 ，
∵ ，∴ 在 是减函数，且 ，
因此当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上是增函数，在 上是减函数； …………（6分）
（II）不等式 可以化为 ，
设 ，则 ，
即判断是否存在 ，使 在 是减函数， …………（8分）
∵ ，
∵ ， ， ，
∴ 在 和 上各有一个零点，分别设为 和 ，列表：
极小
极大
∴ 在 是增函数，在 是减函数，
∵ ，∴存在这样的 值，且 ． …………（12分）
【注意】“当 时，不等式 对任意正实数 都成立”这句话符合必修1中函数单调性定义，说明 在 是减函数．
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
证明：（I） ，
又 切圆 于点 ， ，
，而 ，
，即BD平分∠ABC； …………（5分）
（II）由（I）知 ，又 ，
又 为公共角，
∴ 与 相似， ，
∵AB＝4，AD＝6，BD＝8，∴AH=3． …………（10分）
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（I） 的极坐标方程化为 ，
∴ 的直角坐标方程是 ，
即 ，
的参数方程是 ， 是参数； …………（5分）
（II）由 （ 是参数）得到
∴ 的最大值是6，最小值是2． …………（10分）
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（I）当 时，此不等式为 ，解得 ，
∴不等式的解集为 ； …………（5分）
（II）∵ ，
∴原不等式解集为 等价于 ，∵ ，∴ ，
∴实数 的取值范围为 ． …………（10分）
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